schoolГеометрия
verifiedРешено AI
Решение задач по геометрии: цилиндр и конус
help_outlineУсловие задачи
помоги реши кратко с дано и чертежами
lightbulbКраткий ответ
Представлено решение задач по геометрии про цилиндр и конус. Даны подробные решения с необходимыми формулами, чертежами и ответами для удобного переписывания.
Подробное решение
Ниже представлено решение задач Варианта 4 в виде, удобном для переписывания в тетрадь.
Задача 1.
Дано:
цилиндр;
осевое сечение — квадрат;
диагональ сечения \(d_{сеч} = 8\) см.
Найти: \(S_{бок}\).
Решение:
1. Пусть \(h\) — высота цилиндра, \(D\) — диаметр основания. Так как осевое сечение — квадрат, то \(h = D = 2R\).
2. По теореме Пифагора для квадрата: \(h^2 + D^2 = d_{сеч}^2\).
\[2h^2 = 8^2 \Rightarrow 2h^2 = 64 \Rightarrow h^2 = 32 \Rightarrow h = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см.}\]
3. Так как \(D = h\), то \(D = 4\sqrt{2}\) см.
4. Площадь боковой поверхности цилиндра:
\[S_{бок} = \pi D h = \pi \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = \pi \cdot 16 \cdot 2 = 32\pi \text{ см}^2.\]
Ответ: \(32\pi \text{ см}^2\).
---
Задача 2.
Дано:
конус;
\(R = 10\) см;
\(\alpha = 45^\circ\) (угол наклона образующей);
\(\gamma = 30^\circ\) (угол между образующими в сечении).
Найти: \(S_{сеч}\), \(S_{бок}\).
Решение:
1. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой \(H\), радиусом \(R\) и образующей \(L\):
\[L = \frac{R}{\cos 45^\circ} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \text{ см.}\]
2. Площадь сечения (треугольник с боковыми сторонами \(L\) и углом \(\gamma\) между ними):
\[S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot L \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot (10\sqrt{2})^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot 200 = 50 \text{ см}^2.\]
3. Площадь боковой поверхности конуса:
\[S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot 10 \cdot 10\sqrt{2} = 100\sqrt{2}\pi \text{ см}^2.\]
Ответ: \(50 \text{ см}^2\); \(100\sqrt{2}\pi \text{ см}^2\).
---
Задача 3.
Дано:
сфера диаметра \(d\);
плоскость под углом \(\beta = 30^\circ\) к диаметру.
Найти: \(C\) (длина линии пересечения).
Решение:
1. Линия пересечения сферы и плоскости — окружность. Ее диаметр \(d_1\) является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — диаметр сферы \(d\), а угол между ними \(\beta = 30^\circ\).
2. Диаметр сечения: \(d_1 = d \cdot \cos 30^\circ = d \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).
3. Длина окружности:
\[C = \pi d_1 = \pi \cdot d \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\pi d.\]
Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\pi d\).
---
Задача 4.
Дано:
цилиндр;
сечение параллельно оси;
дуга основания \(\cup AB = 120^\circ\);
диагональ сечения \(d_{сеч} = 20\) см;
расстояние от оси до сечения \(OK = 3\) см.
Найти: \(S_{бок}\).
Решение:
1. Рассмотрим основание. Треугольник \(AOB\) равнобедренный (\(OA=OB=R\)), \(\angle AOB = 120^\circ\). Высота \(OK = 3\) см.
2. В треугольнике \(AOK\) (\(\angle AKO = 90^\circ\)): \(\angle AOK = 120^\circ / 2 = 60^\circ\).
\[R = \frac{OK}{\cos 60^\circ} = \frac{3}{0,5} = 6 \text{ см.}\]
\[AK = OK \cdot \tan 60^\circ = 3\sqrt{3} \Rightarrow AB = 2AK = 6\sqrt{3} \text{ см.}\]
3. Из прямоугольного сечения найдем высоту цилиндра \(h\):
\[h^2 = d_{сеч}^2 - AB^2 = 20^2 - (6\sqrt{3})^2 = 400 - 108 = 292.\]
\[h = \sqrt{292} = 2\sqrt{73} \text{ см.}\]
4. Площадь боковой поверхности:
\[S_{бок} = 2\pi Rh = 2\pi \cdot 6 \cdot 2\sqrt{73} = 24\sqrt{73}\pi \text{ см}^2.\]
Ответ: \(24\sqrt{73}\pi \text{ см}^2\).