Решение: Вероятность удвоить банк играя по Мартингейлу

Давайте разберем эту задачу. Сначала определим, что такое "игра по Мартингейлу" в данном контексте. Обычно это означает, что после каждого проигрыша ставка удваивается, а после выигрыша возвращается к первоначальной. Цель — увеличить бюджет вдвое, то есть до 2000 рублей. Однако, в классическом Мартингейле, если у вас есть ограниченный банк, вы рано или поздно столкнетесь с ситуацией, когда не сможете удвоить ставку после серии проигрышей. Это приводит к потере всего банка. Давайте рассмотрим два сценария: 1. **Идеальный Мартингейл (без ограничений по банку):** Если бы у вас был бесконечный банк, то вероятность рано или поздно выиграть и вернуть все проигранные деньги (и получить чистый выигрыш в 1 рубль) была бы близка к 100%. Но это не наш случай, так как банк ограничен. 2. **Мартингейл с ограниченным банком (1000 рублей) и ставкой 1 рубль:** В этом случае, вы можете проиграть определенное количество раз, прежде чем ваш банк исчерпается. * Первая ставка: 1 рубль. * Если проигрыш, следующая ставка: 2 рубля. * Если проигрыш, следующая ставка: 4 рубля. * Если проигрыш, следующая ставка: 8 рублей. * ... и так далее. Давайте посчитаем, сколько раз подряд вы можете проиграть, прежде чем ваш банк в 1000 рублей будет исчерпан. Сумма ставок после \(n\) проигрышей подряд: \[S_n = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1\] Нам нужно найти максимальное \(n\), при котором \(S_n \le 1000\). \[2^n - 1 \le 1000\] \[2^n \le 1001\] Давайте посмотрим на степени двойки: * \(2^1 = 2\) * \(2^2 = 4\) * \(2^3 = 8\) * \(2^4 = 16\) * \(2^5 = 32\) * \(2^6 = 64\) * \(2^7 = 128\) * \(2^8 = 256\) * \(2^9 = 512\) * \(2^{10} = 1024\) Мы видим, что \(2^9 = 512\). Если вы проиграете 9 раз подряд, общая сумма проигрышей составит \(2^9 - 1 = 511\) рублей. Если вы проиграете 10 раз подряд, общая сумма проигрышей составит \(2^{10} - 1 = 1023\) рубля. Это больше, чем ваш банк в 1000 рублей. Значит, вы можете выдержать максимум 9 проигрышей подряд. Если вы проиграете 10 раз подряд, вы потеряете весь свой банк. **Вероятность проигрыша всего банка:** Предположим, что вероятность выигрыша в каждой отдельной игре равна \(p\), а вероятность проигрыша равна \(q = 1 - p\). В большинстве таких задач, если не указано иное, предполагается, что \(p = 0.5\) (например, подбрасывание монеты). Вероятность проиграть 10 раз подряд (и, следовательно, потерять весь банк) при \(p = 0.5\) равна: \[P(\text{проиграть 10 раз подряд}) = q^{10} = (0.5)^{10} = \frac{1}{1024}\] **Вероятность увеличить бюджет вдвое:** Система Мартингейла гарантирует, что если вы выиграете хотя бы один раз до того, как исчерпаете свой банк, вы получите чистый выигрыш в 1 рубль. Чтобы увеличить бюджет вдвое (с 1000 до 2000 рублей), вам нужно выиграть 1000 таких "циклов" Мартингейла. Однако, вопрос звучит как "точная вероятность увеличить бюджет вдвое". Это означает, что мы должны рассмотреть вероятность того, что вы достигнете 2000 рублей, не потеряв при этом весь банк. Вероятность того, что вы **не** проиграете 10 раз подряд (и, следовательно, не потеряете весь банк) равна: \[P(\text{не проиграть 10 раз подряд}) = 1 - P(\text{проиграть 10 раз подряд}) = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}\] Это вероятность того, что вы **не разоритесь** в одном цикле Мартингейла. Но вам нужно увеличить бюджет вдвое, то есть получить 1000 чистых выигрышей по 1 рублю. Каждый такой выигрыш (цикл Мартингейла) имеет вероятность успеха \(\frac{1023}{1024}\) и вероятность провала \(\frac{1}{1024}\). Если вы играете 1000 таких циклов, то вероятность того, что вы успешно завершите все 1000 циклов, не разорившись ни разу, будет: \[P(\text{увеличить бюджет вдвое}) = \left(\frac{1023}{1024}\right)^{1000}\] Давайте посчитаем это значение: \[\left(\frac{1023}{1024}\right)^{1000} \approx 0.376\] **Вывод:** Точная вероятность увеличить бюджет вдвое (с 1000 до 2000 рублей) при игре по Мартингейлу со ставкой 1 рубль и предположении, что вероятность выигрыша в каждой отдельной игре равна 0.5, составляет примерно **37.6%**. Это означает, что хотя в каждом отдельном цикле Мартингейла вероятность не разориться очень высока (около 99.9%), при необходимости повторить этот цикл 1000 раз, общая вероятность успеха значительно снижается. Важно понимать, что Мартингейл, несмотря на кажущуюся простоту, является очень рискованной стратегией при ограниченном банке, так как вероятность разорения, хоть и мала в одном цикле, становится значительной при многократном повторении.