Построение ромба по двум диагоналям: подробное решение

Дано: Отрезки \( d_1 \) и \( d_2 \), являющиеся диагоналями искомого ромба. Анализ: Пусть \( ABCD \) — искомый ромб. По свойствам ромба: 1. Диагонали перпендикулярны (\( AC \perp BD \)). 2. Диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, для построения ромба достаточно построить две перпендикулярные прямые и отложить от точки их пересечения в обе стороны половины длин данных диагоналей. Изображение (схематично для анализа): Нарисуйте две пересекающиеся под прямым углом линии. Точку пересечения обозначьте \( O \). Отложите от \( O \) вверх и вниз отрезки, равные \( d_2 / 2 \), а влево и вправо — равные \( d_1 / 2 \). Соедините концы отрезков. Построение: 1. Проведем произвольную прямую \( m \) и отметим на ней точку \( O \). 2. С помощью циркуля построим прямую \( n \), перпендикулярную прямой \( m \) и проходящую через точку \( O \). 3. Разделим данные отрезки \( d_1 \) и \( d_2 \) пополам с помощью циркуля и линейки (строим серединный перпендикуляр к каждому отрезку). Получим радиусы \( r_1 = \frac{d_1}{2} \) и \( r_2 = \frac{d_2}{2} \). 4. Отложим на прямой \( m \) от точки \( O \) в обе стороны отрезки, равные \( r_1 \). Получим точки \( A \) и \( C \). \[ OA = OC = \frac{d_1}{2} \] 5. Отложим на прямой \( n \) от точки \( O \) в обе стороны отрезки, равные \( r_2 \). Получим точки \( B \) и \( D \). \[ OB = OD = \frac{d_2}{2} \] 6. Последовательно соединим точки \( A, B, C, D \). Изображение (этап построения): 1. Начертите горизонтальную линию, отметьте центр \( O \). 2. Проведите через \( O \) вертикальную линию (используя дуги циркуля для построения перпендикуляра). 3. Циркулем замерьте половину первой диагонали и поставьте засечки на горизонтальной линии (точки \( A \) и \( C \)). 4. Замерьте половину второй диагонали и поставьте засечки на вертикальной линии (точки \( B \) и \( D \)). 5. Соедините точки в ромб. Доказательство: В полученном четырехугольнике \( ABCD \) диагонали \( AC \) и \( BD \) по построению пересекаются в точке \( O \), причем: \[ AC = OA + OC = \frac{d_1}{2} + \frac{d_1}{2} = d_1 \] \[ BD = OB + OD = \frac{d_2}{2} + \frac{d_2}{2} = d_2 \] Так как диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то \( ABCD \) — ромб по признаку. Исследование: Задача всегда имеет единственное решение при любых положительных значениях \( d_1 \) и \( d_2 \). Если \( d_1 = d_2 \), то ромб является квадратом.