Решение задач с фото: Квадратный трехчлен и Теорема Виета

Ниже представлены решения задач с фотографий в удобном для переписывания виде. Задание 1. Квадратный трёхчлен Разложите на множители \( 2x^2 + 7x + 5 \). 1. Найдем корни уравнения \( 2x^2 + 7x + 5 = 0 \). \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 \] \[ x_1 = \frac{-7 + 3}{4} = -1; \quad x_2 = \frac{-7 - 3}{4} = -2,5 \] 2. Используем формулу \( a(x - x_1)(x - x_2) \): \[ 2(x + 1)(x + 2,5) \] 3. Внесем двойку в скобку: \[ (x + 1)(2x + 5) \] Верные ответы: - \( (2x + 5)(x + 1) \) - \( 2(x + 2,5)(x + 1) \) Задание 2. Теорема Виета Найдите сумму корней уравнения \( 5x^2 - 7x - 10 = 0 \). По теореме Виета для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) сумма корней равна: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] В нашем случае \( a = 5 \), \( b = -7 \): \[ x_1 + x_2 = -\frac{-7}{5} = \frac{7}{5} = 1,4 \] Верный ответ: 1,4. Задание 3. Замена или... Решите уравнение \( 125x^2 - 5x^4 = 0 \). 1. Вынесем общий множитель за скобки: \[ 5x^2(25 - x^2) = 0 \] 2. Приравняем множители к нулю: \[ 5x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \] \[ 25 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x_2 = 5, x_3 = -5 \] Ответы: Сколько корней имеет уравнение? 3 Меньший из корней: -5 Задание 4. Рациональное уравнение Решите уравнение \( \frac{3}{(x-4)^2} - \frac{4}{x-4} + 1 = 0 \). 1. Пусть \( t = \frac{1}{x-4} \), тогда: \[ 3t^2 - 4t + 1 = 0 \] \[ D = 16 - 12 = 4; \quad t_1 = \frac{4+2}{6} = 1; \quad t_2 = \frac{4-2}{6} = \frac{1}{3} \] 2. Обратная замена: \[ \frac{1}{x-4} = 1 \Rightarrow x-4 = 1 \Rightarrow x_1 = 5 \] \[ \frac{1}{x-4} = \frac{1}{3} \Rightarrow x-4 = 3 \Rightarrow x_2 = 7 \] Ответы: Сколько корней имеет уравнение? 2 Произведение корней: 35 (так как \( 5 \cdot 7 = 35 \)) Задание 5. Работа всегда нелегка Пусть \( x \) — производительность второго рабочего (дет/час), тогда \( x+2 \) — первого. Составим уравнение по времени: \[ \frac{360}{x} - \frac{360}{x+2} = 2 \] Разделим на 2: \[ \frac{180}{x} - \frac{180}{x+2} = 1 \] \[ 180(x+2) - 180x = x(x+2) \] \[ 360 = x^2 + 2x \Rightarrow x^2 + 2x - 360 = 0 \] По теореме Виета (или через дискриминант): \( x_1 = 18 \), \( x_2 = -20 \) (не подходит). Ответы: Второй рабочий делает: 18 деталей в час. Первый рабочий делает: 20 деталей в час (так как \( 18 + 2 = 20 \)). Задание 6. Какая же здесь замена? Решите уравнение \( (x-2)^4 - x^2 + 4x - 16 = 0 \). 1. Заметим, что \( -x^2 + 4x - 4 = -(x-2)^2 \). Перепишем уравнение: \[ (x-2)^4 - (x^2 - 4x + 4) - 12 = 0 \] \[ (x-2)^4 - (x-2)^2 - 12 = 0 \] 2. Пусть \( t = (x-2)^2 \), где \( t \ge 0 \): \[ t^2 - t - 12 = 0 \Rightarrow t_1 = 4, t_2 = -3 \text{ (не подходит)} \] 3. Обратная замена: \[ (x-2)^2 = 4 \] \[ x-2 = 2 \Rightarrow x_1 = 4 \] \[ x-2 = -2 \Rightarrow x_2 = 0 \] Ответы: Сколько корней имеет уравнение? 2 Больший корень: 4 Произведение корней: 0 (так как \( 4 \cdot 0 = 0 \))