Решение: Привести к каноническому виду уравнение

Задание: Привести к каноническому виду уравнение в частных производных второго порядка: \[ u_{xx} + 2u_{xy} + 5u_{yy} - 32u = 0 \] Решение: 1. Определим коэффициенты уравнения: \[ a_{11} = 1, \quad a_{12} = 1, \quad a_{22} = 5 \] 2. Составим дискриминант для определения типа уравнения: \[ D = a_{12}^2 - a_{11}a_{22} = 1^2 - 1 \cdot 5 = 1 - 5 = -4 \] Так как \( D < 0 \), уравнение относится к эллиптическому типу. 3. Составим уравнение характеристик: \[ a_{11}(dy)^2 - 2a_{12}dxdy + a_{22}(dx)^2 = 0 \] \[ 1 \cdot (dy)^2 - 2 \cdot 1 \cdot dxdy + 5 \cdot (dx)^2 = 0 \] Разделим на \( (dx)^2 \): \[ \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - 2\frac{dy}{dx} + 5 = 0 \] 4. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y' = \frac{dy}{dx} \): \[ D_1 = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i \] 5. Интегрируем полученные выражения: \[ dy = (1 \pm 2i)dx \implies y = (1 \pm 2i)x + C \] \[ y - x \mp 2ix = C \] Отсюда получаем комплексные характеристики: \[ \phi(x, y) = y - x + 2ix \] \[ \psi(x, y) = y - x - 2ix \] 6. Введем новые вещественные переменные \( \xi \) и \( \eta \): \[ \xi = \text{Re}(\phi) = y - x \] \[ \eta = \text{Im}(\phi) = 2x \] 7. Вычислим производные функции \( u \) через новые переменные: \[ u_x = u_{\xi}\xi_x + u_{\eta}\eta_x = -u_{\xi} + 2u_{\eta} \] \[ u_y = u_{\xi}\xi_y + u_{\eta}\eta_y = u_{\xi} \] \[ u_{xx} = (-u_{\xi} + 2u_{\eta})_x = u_{\xi\xi} - 4u_{\xi\eta} + 4u_{\eta\eta} \] \[ u_{xy} = (-u_{\xi} + 2u_{\eta})_y = -u_{\xi\xi} + 2u_{\xi\eta} \] \[ u_{yy} = (u_{\xi})_y = u_{\xi\xi} \] 8. Подставим производные в исходное уравнение: \[ (u_{\xi\xi} - 4u_{\xi\eta} + 4u_{\eta\eta}) + 2(-u_{\xi\xi} + 2u_{\xi\eta}) + 5(u_{\xi\xi}) - 32u = 0 \] Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[ u_{\xi\xi} - 4u_{\xi\eta} + 4u_{\eta\eta} - 2u_{\xi\xi} + 4u_{\xi\eta} + 5u_{\xi\xi} - 32u = 0 \] \[ 4u_{\xi\xi} + 4u_{\eta\eta} - 32u = 0 \] 9. Разделим всё уравнение на 4 для получения окончательного канонического вида: \[ u_{\xi\xi} + u_{\eta\eta} - 8u = 0 \] Ответ: Канонический вид уравнения \( u_{\xi\xi} + u_{\eta\eta} - 8u = 0 \), где \( \xi = y - x \), \( \eta = 2x \).