Решение задачи: Кислород, конечное давление и теплота (реальный газ)

Для решения задачи с учетом свойств реального газа воспользуемся уравнением Ван-дер-Ваальса. Это уравнение более точно описывает поведение кислорода при высоких давлениях (125 атм), учитывая собственный объем молекул и силы межмолекулярного взаимодействия. Дано: \(V = 60\) л \(= 0,06\) \(м^{3}\) \(T_{1} = 10 ^{\circ}C = 283,15\) К \(P_{1} = 125\) атм \(\approx 126,65 \cdot 10^{5}\) Па \(T_{2} = 30 ^{\circ}C = 303,15\) К Для кислорода (\(O_{2}\)): \(a = 0,138\) \(Па \cdot м^{6} / моль^{2}\) \(b = 3,18 \cdot 10^{-5}\) \(м^{3} / моль\) \(C_{v} \approx \frac{5}{2}R\) (молярная теплоемкость) Найти: \(P_{2}\) — ? \(Q\) — ? Решение: 1. Найдем количество вещества \(\nu\). Для этого используем уравнение Ван-дер-Ваальса для начального состояния: \[ (P_{1} + \frac{\nu^{2} a}{V^{2}})(V - \nu b) = \nu RT_{1} \] Это кубическое уравнение относительно \(\nu\). При данных условиях (\(P=125\) атм) отклонение от идеальности существенно. Подставим значения и решим его приближенно (или методом итераций): \[ (126,65 \cdot 10^{5} + \frac{\nu^{2} \cdot 0,138}{0,0036})(0,06 - \nu \cdot 3,18 \cdot 10^{-5}) = \nu \cdot 8,31 \cdot 283,15 \] После расчетов получаем: \[ \nu \approx 348,5 \text{ моль} \] (Для сравнения: идеальный газ дал бы 323 моль. Разница обусловлена сжимаемостью реального газа). 2. Найдем конечное давление \(P_{2}\) при \(T_{2} = 303,15\) К, используя то же уравнение: \[ P_{2} = \frac{\nu RT_{2}}{V - \nu b} - \frac{\nu^{2} a}{V^{2}} \] Подставляем значения: \[ P_{2} = \frac{348,5 \cdot 8,31 \cdot 303,15}{0,06 - 348,5 \cdot 3,18 \cdot 10^{-5}} - \frac{348,5^{2} \cdot 0,138}{0,06^{2}} \] \[ P_{2} = \frac{877925}{0,0489} - \frac{16760}{0,0036} \] \[ P_{2} = 17953476 - 4655555 \approx 132,98 \cdot 10^{5} \text{ Па} \] Переведем в атмосферы: \[ P_{2} \approx 131,2 \text{ атм} \] 3. Количество теплоты \(Q\) для реального газа в изохорном процессе (\(V=const\)) равно изменению внутренней энергии \(\Delta U\). Внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса зависит и от температуры, и от объема: \[ U = \nu C_{v} T - \frac{\nu^{2} a}{V} \] Так как объем \(V\) не меняется, добавка с параметром \(a\) сокращается при вычитании (\(U_{2} - U_{1}\)): \[ Q = \Delta U = \nu C_{v} (T_{2} - T_{1}) \] \[ Q = 348,5 \cdot \frac{5}{2} \cdot 8,31 \cdot (303,15 - 283,15) \] \[ Q = 348,5 \cdot 20,775 \cdot 20 \approx 144752 \text{ Дж} \] Ответ: \(P_{2} \approx 131,2\) атм; \(Q \approx 144,8\) кДж.