Решение задачи: Расчет конечной температуры и работы воздуха

Дано: Рабочее тело: воздух \( V_1 = 3 \, \text{м}^3 \) \( p_1 = 5,4 \, \text{бар} = 5,4 \cdot 10^5 \, \text{Па} \) \( t_1 = 45 \, ^\circ\text{C} \Rightarrow T_1 = 45 + 273,15 = 318,15 \, \text{К} \) \( V_2 = 10 \, \text{м}^3 \) \( p_2 = 1,5 \, \text{бар} = 1,5 \cdot 10^5 \, \text{Па} \) Найти: \( T_2 \) — ? \( A \) — ? Решение: 1. Для нахождения конечной температуры воспользуемся объединенным газовым законом (законом Клапейрона): \[ \frac{p_1 \cdot V_1}{T_1} = \frac{p_2 \cdot V_2}{T_2} \] Выразим конечную температуру \( T_2 \): \[ T_2 = \frac{p_2 \cdot V_2 \cdot T_1}{p_1 \cdot V_1} \] Подставим числовые значения: \[ T_2 = \frac{1,5 \cdot 10^5 \cdot 10 \cdot 318,15}{5,4 \cdot 10^5 \cdot 3} \] \[ T_2 = \frac{15 \cdot 318,15}{16,2} \approx 294,58 \, \text{К} \] Переведем в градусы Цельсия: \[ t_2 = 294,58 - 273,15 = 21,43 \, ^\circ\text{C} \] 2. Для расчета совершенной работы необходимо знать характер процесса. Поскольку в условии даны изменения и давления, и объема, и температуры, предположим, что процесс является политропным. Сначала найдем показатель политропы \( n \) из уравнения: \[ p_1 \cdot V_1^n = p_2 \cdot V_2^n \] \[ \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^n = \frac{p_1}{p_2} \] \[ n \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = \ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right) \] \[ n = \frac{\ln(5,4 / 1,5)}{\ln(10 / 3)} = \frac{\ln(3,6)}{\ln(3,333)} \approx \frac{1,2809}{1,2039} \approx 1,064 \] Работа в политропном процессе вычисляется по формуле: \[ A = \frac{p_1 \cdot V_1 - p_2 \cdot V_2}{n - 1} \] Подставим значения: \[ A = \frac{5,4 \cdot 10^5 \cdot 3 - 1,5 \cdot 10^5 \cdot 10}{1,064 - 1} \] \[ A = \frac{16,2 \cdot 10^5 - 15 \cdot 10^5}{0,064} \] \[ A = \frac{1,2 \cdot 10^5}{0,064} = 1875000 \, \text{Дж} = 1,875 \, \text{МДж} \] Ответ: Конечная температура \( T_2 \approx 294,58 \, \text{К} \) (\( 21,43 \, ^\circ\text{C} \)), совершенная работа \( A = 1,875 \, \text{МДж} \).