Решение задач по термодинамике с подробным объяснением

Дано: Толщина кирпичной стены: \( \delta_к = 250 \, \text{мм} = 0,25 \, \text{м} \) Толщина пенопласта: \( \delta_п = 80 \, \text{мм} = 0,08 \, \text{м} \) Температура внутри: \( t_{в} = 20 \, ^\circ\text{C} \) Температура снаружи: \( t_{н} = -30 \, ^\circ\text{C} \) Коэффициент теплопроводности кирпича: \( \lambda_к = 0,7 \, \text{Вт/(м}\cdot\text{К)} \) Коэффициент теплопроводности пенопласта: \( \lambda_п = 0,04 \, \text{Вт/(м}\cdot\text{К)} \) Коэффициенты теплоотдачи (примем стандартные): \( \alpha_{в} = 8,7 \, \text{Вт/(м}^2\cdot\text{К)} \), \( \alpha_{н} = 23 \, \text{Вт/(м}^2\cdot\text{К)} \) Найти: \( q_1, q_2, q_3 \) — ? \( x_{0,1}, x_{0,2}, x_{0,3} \) — ? (глубина, где \( t = 0 \, ^\circ\text{C} \)) Решение: Общее термическое сопротивление теплопередаче: \( R_0 = \frac{1}{\alpha_в} + \sum \frac{\delta_i}{\lambda_i} + \frac{1}{\alpha_н} \) Плотность теплового потока: \( q = \frac{t_в - t_н}{R_0} \) 1) Случай без изоляции: \[ R_{0,1} = \frac{1}{8,7} + \frac{0,25}{0,7} + \frac{1}{23} \approx 0,115 + 0,357 + 0,043 = 0,515 \, \text{м}^2\cdot\text{К/Вт} \] \[ q_1 = \frac{20 - (-30)}{0,515} = \frac{50}{0,515} \approx 97,09 \, \text{Вт/м}^2 \] Температура на внутренней поверхности стены: \( \tau_{в1} = t_в - q_1 \cdot \frac{1}{\alpha_в} = 20 - 97,09 \cdot 0,115 \approx 8,83 \, ^\circ\text{C} \) Глубина промерзания \( x \) от внутренней поверхности: \[ 0 = \tau_{в1} - q_1 \cdot \frac{x}{\lambda_к} \Rightarrow x = \frac{\tau_{в1} \cdot \lambda_к}{q_1} = \frac{8,83 \cdot 0,7}{97,09} \approx 0,0637 \, \text{м} = 63,7 \, \text{мм} \] 2) Пенопласт внутри помещения: \[ R_{0,2} = \frac{1}{8,7} + \frac{0,08}{0,04} + \frac{0,25}{0,7} + \frac{1}{23} \approx 0,115 + 2,0 + 0,357 + 0,043 = 2,515 \, \text{м}^2\cdot\text{К/Вт} \] \[ q_2 = \frac{50}{2,515} \approx 19,88 \, \text{Вт/м}^2 \] Температура между пенопластом и кирпичом: \[ t_{ст} = t_в - q_2 \cdot \left( \frac{1}{\alpha_в} + \frac{\delta_п}{\lambda_п} \right) = 20 - 19,88 \cdot (0,115 + 2,0) = 20 - 42,05 = -22,05 \, ^\circ\text{C} \] Так как температура на стыке уже ниже нуля, промерзание начинается внутри утеплителя. Глубина \( x \) от внутренней поверхности (в слое пенопласта): \[ 0 = (t_в - q_2/\alpha_в) - q_2 \cdot \frac{x}{\lambda_п} \Rightarrow x = \frac{(20 - 19,88 \cdot 0,115) \cdot 0,04}{19,88} \approx 0,0356 \, \text{м} = 35,6 \, \text{мм} \] 3) Пенопласт снаружи: \[ R_{0,3} = R_{0,2} = 2,515 \, \text{м}^2\cdot\text{К/Вт} \Rightarrow q_3 = 19,88 \, \text{Вт/м}^2 \] Температура на стыке кирпича и пенопласта: \[ t_{ст} = t_в - q_3 \cdot \left( \frac{1}{\alpha_в} + \frac{\delta_к}{\lambda_к} \right) = 20 - 19,88 \cdot (0,115 + 0,357) = 20 - 9,38 = 10,62 \, ^\circ\text{C} \] Температура на внешней поверхности пенопласта: \[ \tau_{н3} = t_н + q_3 \cdot \frac{1}{\alpha_н} = -30 + 19,88 \cdot 0,043 = -29,15 \, ^\circ\text{C} \] Промерзание начинается в слое пенопласта. Кирпич полностью в теплой зоне. Глубина \( x \) от внутренней поверхности стены: Нулевая температура находится в пенопласте. Найдем расстояние \( y \) от стыка кирпич-пенопласт: \[ 0 = 10,62 - q_3 \cdot \frac{y}{\lambda_п} \Rightarrow y = \frac{10,62 \cdot 0,04}{19,88} \approx 0,0214 \, \text{м} = 21,4 \, \text{мм} \] Общая глубина от внутренней грани: \( x = 250 + 21,4 = 271,4 \, \text{мм} \). Ответ: 1) \( q = 97,09 \, \text{Вт/м}^2 \), глубина промерзания \( 63,7 \, \text{мм} \) (в кирпиче). 2) \( q = 19,88 \, \text{Вт/м}^2 \), глубина промерзания \( 35,6 \, \text{мм} \) (в утеплителе). 3) \( q = 19,88 \, \text{Вт/м}^2 \), глубина промерзания \( 271,4 \, \text{мм} \) (в утеплителе, кирпич не мерзнет).