Решение: Расчет на устойчивость центрально сжатого стержня

9. Расчет на устойчивость центрально сжатого стержня Дано: \(l = 4,5 \text{ м} = 450 \text{ см}\) \(P = 480 \text{ кН} = 48000 \text{ кгс}\) (или \(480 \cdot 10^3 \text{ Н}\)) \([\sigma] = 160 \text{ МПа} = 16 \text{ кН/см}^2\) \(E = 2 \cdot 10^5 \text{ МПа} = 2 \cdot 10^4 \text{ кН/см}^2\) \(\mu = 2\) (коэффициент приведения длины для стержня, защемленного одним концом и свободного на другом, согласно схеме) Найти: диаметр стержня \(d\). Решение: Расчет на устойчивость выполняется методом последовательных приближений по формуле: \[\sigma = \frac{P}{\varphi \cdot A} \le [\sigma]\] где \(\varphi\) — коэффициент снижения основного допускаемого напряжения, \(A\) — площадь поперечного сечения. Для круглого сечения: \[A = \frac{\pi \cdot d^2}{4}\] 1. Первое приближение. Зададимся начальным значением \(\varphi_1 = 0,5\). Требуемая площадь сечения: \[A_1 = \frac{P}{\varphi_1 \cdot [\sigma]} = \frac{480}{0,5 \cdot 16} = 60 \text{ см}^2\] Найдем диаметр: \[d_1 = \sqrt{\frac{4 \cdot A_1}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 60}{3,14}} \approx 8,74 \text{ см}\] Радиус инерции для круга: \[i = \frac{d}{4} = \frac{8,74}{4} = 2,185 \text{ см}\] Гибкость стержня: \[\lambda_1 = \frac{\mu \cdot l}{i} = \frac{2 \cdot 450}{2,185} \approx 412\] 2. Второе приближение. По таблицам коэффициентов \(\varphi\) для стали (Ст3) при \(\lambda = 412\) значение \(\varphi\) очень мало (меньше 0,1). Это значит, что стержень слишком гибкий. Уточним расчет через критическую силу Эйлера, так как гибкость велика (\(\lambda > \lambda_{пред} \approx 100\)). \[P_{кр} = \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I}{(\mu \cdot l)^2}\] Примем коэффициент запаса устойчивости \(n_y = 2,5\). Тогда \(P_{кр} = P \cdot n_y = 480 \cdot 2,5 = 1200 \text{ кН}\). Момент инерции для круга: \(I = \frac{\pi \cdot d^4}{64}\). \[1200 = \frac{3,14^2 \cdot 2 \cdot 10^4 \cdot \pi \cdot d^4}{64 \cdot (2 \cdot 450)^2}\] \[1200 = \frac{9,87 \cdot 20000 \cdot 3,14 \cdot d^4}{64 \cdot 810000}\] \[1200 = 0,01196 \cdot d^4\] \[d^4 = \frac{1200}{0,01196} \approx 100334\] \[d = \sqrt[4]{100334} \approx 17,8 \text{ см}\] 3. Проверка. При \(d = 17,8 \text{ см}\): \(i = \frac{17,8}{4} = 4,45 \text{ см}\) \(\lambda = \frac{2 \cdot 450}{4,45} \approx 202\) Для стали при \(\lambda = 202\), \(\varphi \approx 0,18\) (согласно справочным таблицам). Проверим напряжение: \(A = \frac{3,14 \cdot 17,8^2}{4} \approx 248,7 \text{ см}^2\) \[\sigma = \frac{480}{0,18 \cdot 248,7} \approx 10,7 \text{ кН/см}^2\] Так как \(10,7 < 16\), условие устойчивости выполняется. Ответ: Требуемый диаметр стержня \(d \approx 17,8 \text{ см}\) (или 178 мм).