Расчет рамы на прочность. Пример решения

7. Расчет рамы на прочность Дано: \(a = 2,4\) м \(b = 2,3\) м \(c = 4\) м \(q = 10\) кН/м \(P = 80\) кН \(M = 15\) кН·м \([\sigma] = 160\) МПа Решение: 1. Определение реакций в заделке. Рама жестко закреплена в левой точке (пусть это будет точка А). В заделке возникают три реакции: горизонтальная \(R_{Ax}\), вертикальная \(R_{Ay}\) и реактивный момент \(M_A\). Составим уравнения равновесия: \[\sum F_x = 0: R_{Ax} - q \cdot c = 0\] \[R_{Ax} = q \cdot c = 10 \cdot 4 = 40 \text{ кН}\] \[\sum F_y = 0: R_{Ay} - P = 0\] \[R_{Ay} = P = 80 \text{ кН}\] \[\sum M_A = 0: M_A - P \cdot (a - b) - M - q \cdot c \cdot \frac{c}{2} = 0\] Вычислим плечо для силы \(P\): \(a - b = 2,4 - 2,3 = 0,1\) м. \[M_A = 80 \cdot 0,1 + 15 + 10 \cdot 4 \cdot \frac{4}{2}\] \[M_A = 8 + 15 + 80 = 103 \text{ кН·м}\] 2. Построение эпюр внутренних силовых факторов. Разобьем раму на участки. Участок 1 (правая вертикальная стойка, снизу вверх, \(0 \le y \le c\)): Поперечная сила \(Q_x(y) = q \cdot y\). При \(y=0, Q_x=0\); при \(y=4, Q_x=40\) кН. Изгибающий момент \(M(y) = -\frac{q \cdot y^2}{2}\). При \(y=0, M=0\); при \(y=4, M = -80\) кН·м. Участок 2 (горизонтальный ригель, справа налево): На правом конце приложен момент \(M = 15\) кН·м и передается момент от стойки. Рассмотрим характерные точки: В узле справа: \(M_{прав} = -80 + 15 = -65\) кН·м. В точке приложения силы \(P\) (на расстоянии \(b = 2,3\) м от правого узла): \[M_P = -65 - (q \cdot c) \cdot 0 = -65 \text{ кН·м}\] (так как линия действия распределенной нагрузки совпадает с осью ригеля, она дает только продольную силу). Вертикальная сила \(P\) создает скачок на эпюре моментов при движении к заделке. В заделке (точка А): \[M_A = -65 - P \cdot (a - b) = -65 - 80 \cdot 0,1 = -73 \text{ кН·м}\] (Примечание: знак зависит от выбранного правила знаков, для расчета на прочность важен модуль максимального момента). 3. Расчет на прочность. Максимальный изгибающий момент по модулю составляет \(|M_{max}| = 103\) кН·м (в заделке, с учетом всех нагрузок). Условие прочности по нормальным напряжениям: \[\sigma = \frac{M_{max}}{W_z} \le [\sigma]\] Отсюда требуемый момент сопротивления сечения: \[W_z \ge \frac{M_{max}}{[\sigma]}\] \[W_z \ge \frac{103 \cdot 10^3 \text{ Н·м}}{160 \cdot 10^6 \text{ Па}} = 0,00064375 \text{ м}^3 = 643,75 \text{ см}^3\] По ГОСТу (например, для стального двутавра) подбирается подходящий номер профиля, у которого \(W_z\) больше или равен расчетному. Например, двутавр №36 имеет \(W_z = 743 \text{ см}^3\). Ответ: Реакции опор \(R_{Ax} = 40\) кН, \(R_{Ay} = 80\) кН, \(M_A = 103\) кН·м. Требуемый момент сопротивления \(W_z = 643,75 \text{ см}^3\).