Подробное решение задачи №480: Тригонометрические выражения

Ниже представлено подробное решение всех четырех пунктов задачи № 480 с пошаговыми вычислениями, удобное для переписывания в тетрадь. 1) \( \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{6} \) Вспомним значения тригонометрических функций из таблицы: \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \); \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \); \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \); \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставим их в выражение: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Выполним умножение дробей: \[ \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} - \frac{3}{4} \] Вычтем дроби с одинаковыми знаменателями: \[ \frac{2 - 3}{4} = -\frac{1}{4} = -0,25 \] Ответ: \( -0,25 \). 2) \( 2 \text{tg}^2 \frac{\pi}{3} - \text{ctg}^2 \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6} \) Значения функций: \( \text{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \); \( \text{ctg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \); \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \). Подставим значения в квадрат: \[ 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2 - \frac{1}{2} \] Так как \( (\sqrt{3})^2 = 3 \), получаем: \[ 2 \cdot 3 - 3 - 0,5 = 6 - 3 - 0,5 = 3 - 0,5 = 2,5 \] Ответ: \( 2,5 \). 3) \( (\text{tg} \frac{\pi}{4} - \text{ctg} \frac{\pi}{3})(\text{ctg} \frac{\pi}{4} + \text{tg} \frac{\pi}{6}) \) Значения функций: \( \text{tg} \frac{\pi}{4} = 1 \); \( \text{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \); \( \text{ctg} \frac{\pi}{4} = 1 \); \( \text{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \). Подставим в скобки: \[ (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) \] Заметим, что это формула разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \): \[ 1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} \] Сократим дробь \( \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \): \[ 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] Ответ: \( \frac{2}{3} \). 4) \( 2 \cos^2 \frac{\pi}{6} - \sin^2 \frac{\pi}{3} + \text{tg} \frac{\pi}{6} \) Значения функций: \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \); \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \); \( \text{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \). Подставим в выражение: \[ 2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{\sqrt{3}}{3} \] Возведем в квадрат: \[ 2 \cdot \frac{3}{4} - \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \] Выполним действия с первыми двумя слагаемыми: \[ \frac{6}{4} - \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \] Приведем к общему знаменателю 12 (первую дробь умножаем на 3, вторую на 4): \[ \frac{3 \cdot 3}{12} + \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{12} = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{12} \] Ответ: \( \frac{9 + 4\sqrt{3}}{12} \).