Решение задачи по законам Кирхгофа и методу контурных токов

Дано: \(E_1 = 1\) В \(E_3 = 2\) В \(J_4 = 5\) А (источник тока) \(R_1 = 1\) Ом \(R_2 = 3\) Ом \(R_3 = 2\) Ом \(R_4 = 5\) Ом Найти: токи в ветвях \(I_1, I_2, I_3, I_4\). Решение: 1. Расчет по законам Кирхгофа. В схеме 2 узла (верхний — узел 1, нижний — узел 2). По первому закону Кирхгофа составим уравнение для узла 1 (сумма втекающих токов равна сумме вытекающих): \[I_1 + I_3 = I_2\] Заметим, что в нижней ветви стоит источник тока \(J_4\), следовательно, ток в этой ветви известен: \[I_4 = J_4 = 5 \text{ А}\] Однако этот ток \(I_4\) циркулирует во внешнем контуре и не входит напрямую в узел 1, но влияет на потенциалы. Согласно схеме, ветвь с \(J_4\) подключена параллельно нижнему проводу. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для двух внутренних контуров. Направления обхода выберем по часовой стрелке. Для левого контура: \[I_1 \cdot R_1 + I_2 \cdot R_2 = E_1\] \[I_1 \cdot 1 + I_2 \cdot 3 = 1 \quad (1)\] Для правого контура: \[-I_2 \cdot R_2 - I_3 \cdot R_3 = -E_3\] Умножим на -1: \[I_2 \cdot 3 + I_3 \cdot 2 = 2 \quad (2)\] Выразим \(I_1\) и \(I_3\) через \(I_2\) из уравнений (1) и (2): \[I_1 = 1 - 3 I_2\] \[I_3 = \frac{2 - 3 I_2}{2} = 1 - 1.5 I_2\] Подставим в уравнение первого закона Кирхгофа: \[(1 - 3 I_2) + (1 - 1.5 I_2) = I_2\] \[2 - 4.5 I_2 = I_2\] \[2 = 5.5 I_2\] \[I_2 = \frac{2}{5.5} = \frac{4}{11} \approx 0.364 \text{ А}\] Теперь найдем остальные токи: \[I_1 = 1 - 3 \cdot \frac{4}{11} = 1 - \frac{12}{11} = -\frac{1}{11} \approx -0.091 \text{ А}\] (Знак минус означает, что реальное направление тока противоположно указанному на схеме). \[I_3 = 1 - 1.5 \cdot \frac{4}{11} = 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11} \approx 0.455 \text{ А}\] 2. Метод контурных токов. Выделим два независимых контура с контурными токами \(I_{11}\) (левый) и \(I_{22}\) (правый). Направление — по часовой стрелке. Система уравнений: \[\begin{cases} I_{11}(R_1 + R_2) - I_{22} \cdot R_2 = E_1 \\ -I_{11} \cdot R_2 + I_{22}(R_2 + R_3) = -E_3 \end{cases}\] Подставим значения: \[\begin{cases} I_{11}(1 + 3) - I_{22} \cdot 3 = 1 \\ -I_{11} \cdot 3 + I_{22}(3 + 2) = -2 \end{cases}\] \[\begin{cases} 4 I_{11} - 3 I_{22} = 1 \\ -3 I_{11} + 5 I_{22} = -2 \end{cases}\] Решим систему. Из первого уравнения: \[I_{11} = \frac{1 + 3 I_{22}}{4}\] Подставим во второе: \[-3 \cdot \frac{1 + 3 I_{22}}{4} + 5 I_{22} = -2\] Умножим на 4: \[-3 - 9 I_{22} + 20 I_{22} = -8\] \[11 I_{22} = -5\] \[I_{22} = -\frac{5}{11} \text{ А}\] Найдем \(I_{11}\): \[I_{11} = \frac{1 + 3 \cdot (-5/11)}{4} = \frac{1 - 15/11}{4} = \frac{-4/11}{4} = -\frac{1}{11} \text{ А}\] Перейдем к токам в ветвях: \[I_1 = I_{11} = -\frac{1}{11} \text{ А}\] \[I_2 = I_{11} - I_{22} = -\frac{1}{11} - (-\frac{5}{11}) = \frac{4}{11} \text{ А}\] \[I_3 = -I_{22} = -(-\frac{5}{11}) = \frac{5}{11} \text{ А}\] Результаты совпали. Ответ: \(I_1 \approx -0.091\) А, \(I_2 \approx 0.364\) А, \(I_3 \approx 0.455\) А, \(I_4 = 5\) А.