Решение задачи по законам Кирхгофа и методом контурных токов

Дано: \(E_1 = 1\) В \(E_3 = 2\) В \(J_4 = 5\) А (источник тока) \(R_1 = 1\) Ом \(R_2 = 3\) Ом \(R_3 = 2\) Ом \(R_4 = 5\) Ом Найти: токи в ветвях \(I_1, I_2, I_3\). Решение: 1. Расчет по законам Кирхгофа. Согласно схеме, ток в нижней ветви задан источником тока: \(I_4 = J_4 = 5\) А. Примем направления токов \(I_1, I_2, I_3\) как указано на схеме (стрелками). Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для верхнего узла (обозначен цифрой 1): \[I_1 - I_2 - I_3 = 0 \quad (1)\] (Ток \(I_1\) входит в узел, \(I_2\) и \(I_3\) выходят). Для нижнего узла (обозначен цифрой 2) с учетом тока \(I_4\): \[I_2 + I_3 + I_4 - I_1 = 0\] Это уравнение зависимо от первого, поэтому используем только одно. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для двух контуров. Левый контур (обход по часовой стрелке): \[I_1 \cdot R_1 + I_2 \cdot R_2 = E_1\] \[I_1 \cdot 1 + I_2 \cdot 3 = 1 \quad (2)\] Правый контур (обход против часовой стрелки, чтобы совпадал с \(I_2\)): \[I_3 \cdot R_3 - I_2 \cdot R_2 = -E_3\] \[I_3 \cdot 2 - I_2 \cdot 3 = -2 \quad (3)\] Решим систему уравнений (1), (2) и (3): Из (1): \(I_1 = I_2 + I_3\) Подставим в (2): \((I_2 + I_3) \cdot 1 + 3 \cdot I_2 = 1 \Rightarrow 4 \cdot I_2 + I_3 = 1 \Rightarrow I_3 = 1 - 4 \cdot I_2\) Подставим полученное \(I_3\) в (3): \(2 \cdot (1 - 4 \cdot I_2) - 3 \cdot I_2 = -2\) \(2 - 8 \cdot I_2 - 3 \cdot I_2 = -2\) \(-11 \cdot I_2 = -4\) \[I_2 = \frac{4}{11} \approx 0,364 \text{ А}\] Найдем остальные токи: \[I_3 = 1 - 4 \cdot \frac{4}{11} = 1 - \frac{16}{11} = -\frac{5}{11} \approx -0,455 \text{ А}\] (Знак минус означает, что реальный ток течет в обратную сторону). \[I_1 = \frac{4}{11} + \left(-\frac{5}{11}\right) = -\frac{1}{11} \approx -0,091 \text{ А}\] 2. Метод контурных токов. Выберем два независимых контура в верхней части схемы. Пусть \(i_{11}\) — контурный ток в левом окне, \(i_{22}\) — в правом. Направление обхода — по часовой стрелке. Система уравнений: \[i_{11} \cdot (R_1 + R_2) - i_{22} \cdot R_2 = E_1\] \[-i_{11} \cdot R_2 + i_{22} \cdot (R_2 + R_3) = -E_3\] Подставим значения: \[4 \cdot i_{11} - 3 \cdot i_{22} = 1\] \[-3 \cdot i_{11} + 5 \cdot i_{22} = -2\] Решим методом сложения. Умножим первое на 3, второе на 4: \[12 \cdot i_{11} - 9 \cdot i_{22} = 3\] \[-12 \cdot i_{11} + 20 \cdot i_{22} = -8\] Складываем: \(11 \cdot i_{22} = -5 \Rightarrow i_{22} = -\frac{5}{11}\) А. Из первого уравнения: \(4 \cdot i_{11} = 1 + 3 \cdot \left(-\frac{5}{11}\right) = 1 - \frac{15}{11} = -\frac{4}{11}\) \(i_{11} = -\frac{1}{11}\) А. Переход к токам в ветвях: \[I_1 = i_{11} = -\frac{1}{11} \text{ А}\] \[I_3 = i_{22} = -\frac{5}{11} \text{ А}\] \[I_2 = i_{11} - i_{22} = -\frac{1}{11} - \left(-\frac{5}{11}\right) = \frac{4}{11} \text{ А}\] Результаты совпали. Ответ: \(I_1 \approx -0,091\) А, \(I_2 \approx 0,364\) А, \(I_3 \approx -0,455\) А, \(I_4 = 5\) А.