Решение задачи дифракции Френеля: 4/3 зоны

Ниже представлено подробное решение задачи №4 для переписывания в тетрадь. \[ \text{Задача №4} \] \[ \text{Дано:} \] Интенсивность падающей волны: \( I_0 \) Число открытых зон Френеля: \( m = \frac{4}{3} \) \[ \text{Найти: } I - ? \] \[ \text{Решение:} \] 1. При дифракции на круглом отверстии амплитуда результирующего колебания в точке наблюдения определяется методом векторных диаграмм (спираль Френеля). Каждая зона Френеля соответствует повороту вектора амплитуды на угол \( \pi \) (180 градусов). 2. Если открыто \( m \) зон Френеля, то суммарный фазовый набег составляет \( \phi = m \cdot \pi \). В нашем случае: \[ \phi = \frac{4}{3} \cdot \pi \] 3. Амплитуда \( A \) в точке наблюдения при открытых \( m \) зонах (пренебрегая медленным убыванием амплитуд зон) определяется как хорда спирали Френеля. Если амплитуда от полностью открытого фронта волны (без экрана) равна \( A_{\infty} = \frac{A_1}{2} \), то амплитуда при открытых \( m \) зонах: \[ A = 2 A_{\infty} \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \] Где \( A_1 \) — амплитуда от первой зоны Френеля. Известно, что интенсивность при полностью открытом фронте \( I_0 \) пропорциональна \( A_{\infty}^2 \). 4. Вычислим значение синуса для нашего фазового сдвига: \[ \frac{\phi}{2} = \frac{4\pi}{3 \cdot 2} = \frac{2\pi}{3} \] \[ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 5. Найдем отношение интенсивностей. Так как интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды (\( I \sim A^2 \)): \[ \frac{I}{I_0} = \left( \frac{A}{A_{\infty}} \right)^2 = \left( 2 \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \right)^2 \] \[ \frac{I}{I_0} = 4 \cdot \sin^2\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 4 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3 \] 6. Таким образом: \[ I = 3 I_0 \] \[ \text{Ответ: } I = 3 I_0 \]