Разложение (1+x)e^x в ряд Маклорена

Для разложения функции \( f(x) = (1 + x)e^x \) в ряд Маклорена воспользуемся известным разложением для экспоненты \( e^x \). 1. Запишем стандартный ряд Маклорена для функции \( e^x \): \[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots \] 2. Подставим это выражение в нашу функцию: \[ f(x) = (1 + x) \cdot \left( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots \right) \] 3. Раскроем скобки, умножая каждый член ряда сначала на \( 1 \), а затем на \( x \): \[ f(x) = \left( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \right) + \left( x + x^2 + \frac{x^3}{2!} + \frac{x^4}{3!} + \dots \right) \] 4. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями \( x \): \[ f(x) = 1 + (1 + 1)x + \left( \frac{1}{2!} + 1 \right)x^2 + \left( \frac{1}{3!} + \frac{1}{2!} \right)x^3 + \dots + \left( \frac{1}{n!} + \frac{1}{(n-1)!} \right)x^n + \dots \] 5. Упростим коэффициент при общем члене \( x^n \): \[ \frac{1}{n!} + \frac{1}{(n-1)!} = \frac{1 + n}{n!} \] 6. Запишем итоговый вид ряда Маклорена: \[ (1 + x)e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^n \] Развернутый вид первых нескольких членов: \[ (1 + x)e^x = 1 + 2x + \frac{3}{2}x^2 + \frac{4}{6}x^3 + \dots = 1 + 2x + \frac{3}{2}x^2 + \frac{2}{3}x^3 + \dots \] Ответ: \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^n \) для всех \( x \in (-\infty, +\infty) \).