Решение задачи из экзаменационного билета №8

Экзаменационный билет № 8 Задача 1. Для решения используем формулу полной вероятности. Пусть событие \(A\) — поступившая на сборку деталь небракованная. Введем гипотезы \(H_i\) (деталь изготовлена \(i\)-м станком): \(P(H_1) = 0,4\); \(P(H_2) = 0,3\); \(P(H_3) = 0,2\); \(P(H_4) = 0,1\). Вероятности того, что деталь годная (небракованная) для каждого станка: \(P(A|H_1) = 1 - 0,02 = 0,98\) \(P(A|H_2) = 1 - 0,01 = 0,99\) \(P(A|H_3) = 1 - 0,005 = 0,995\) \(P(A|H_4) = 1 - 0,002 = 0,998\) По формуле полной вероятности: \[P(A) = \sum_{i=1}^{4} P(H_i) \cdot P(A|H_i)\] \[P(A) = 0,4 \cdot 0,98 + 0,3 \cdot 0,99 + 0,2 \cdot 0,995 + 0,1 \cdot 0,998\] \[P(A) = 0,392 + 0,297 + 0,199 + 0,0998 = 0,9878\] Ответ: 0,9878. Задача 2. Используем формулу Бернулли. \(n = 5\) (количество кредитов) \(k = 4\) (количество возвращенных в срок) Вероятность невозврата \(q = 0,1\), следовательно, вероятность возврата в срок \(p = 1 - 0,1 = 0,9\). Формула Бернулли: \(P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\) \[P_5(4) = C_5^4 \cdot (0,9)^4 \cdot (0,1)^1\] \[C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = 5\] \[P_5(4) = 5 \cdot 0,6561 \cdot 0,1 = 0,32805\] Ответ: 0,32805. Задача 3. 1) Математическое ожидание \(M(X)\): \[M(X) = \sum x_i p_i = (-1) \cdot 0,1 + 0 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,4 + 3 \cdot 0,3\] \[M(X) = -0,1 + 0 + 0,4 + 0,9 = 1,2\] 2) Дисперсия \(D(X)\): Сначала найдем \(M(X^2)\): \[M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = (-1)^2 \cdot 0,1 + 0^2 \cdot 0,2 + 1^2 \cdot 0,4 + 3^2 \cdot 0,3\] \[M(X^2) = 1 \cdot 0,1 + 0 + 1 \cdot 0,4 + 9 \cdot 0,3 = 0,1 + 0,4 + 2,7 = 3,2\] \[D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 3,2 - (1,2)^2 = 3,2 - 1,44 = 1,76\] Ответ: \(M(X) = 1,2\); \(D(X) = 1,76\). Задача 4. Выборка: 2; 6; 4; 1; 3; 6; 3; 6; 3; 3; 2; 6; 5. Упорядочим выборку (вариационный ряд): 1; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4; 5; 6; 6; 6; 6. Объем выборки \(n = 13\). 1) Размах \(R = x_{max} - x_{min} = 6 - 1 = 5\). 2) Мода \(Mo\) — значение, которое встречается чаще всего. Числа 3 и 6 встречаются по 4 раза. Выборка бимодальная. \(Mo = 3\) и \(6\). 3) Медиана \(Me\). Так как \(n = 13\) (нечетное), медиана — это элемент на 7-м месте. \(Me = 3\). 4) Среднее выборки \(\bar{x}\): \[\bar{x} = \frac{1+2+2+3+3+3+3+4+5+6+6+6+6}{13} = \frac{50}{13} \approx 3,85\] Ответ: Размах = 5; Мода = 3 и 6; Медиана = 3; Среднее \(\approx 3,85\).