Решение задачи по теории вероятностей: Экзаменационный билет №31, Задача 1

Экзаменационный билет № 31 Задача 1. Условие: В группе 10 лыжников, 6 велогонщиков и 4 бегуна. Вероятность выполнения квалификации: для лыжника — 0,9, для велогонщика — 0,8, для бегуна — 0,75. Найти вероятность того, что выбранный наудачу спортсмен не выполнит норму. Решение: Общее количество спортсменов: \( n = 10 + 6 + 4 = 20 \). Пусть событие \( A \) — спортсмен не выполнил норму. Введем гипотезы: \( H_1 \) — выбран лыжник, \( P(H_1) = \frac{10}{20} = 0,5 \). \( H_2 \) — выбран велогонщик, \( P(H_2) = \frac{6}{20} = 0,3 \). \( H_3 \) — выбран бегун, \( P(H_3) = \frac{4}{20} = 0,2 \). Условные вероятности того, что спортсмен НЕ выполнит норму: \( P(A|H_1) = 1 - 0,9 = 0,1 \). \( P(A|H_2) = 1 - 0,8 = 0,2 \). \( P(A|H_3) = 1 - 0,75 = 0,25 \). По формуле полной вероятности: \[ P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) + P(H_3) \cdot P(A|H_3) \] \[ P(A) = 0,5 \cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,2 + 0,2 \cdot 0,25 = 0,05 + 0,06 + 0,05 = 0,16 \] Ответ: 0,16. Задача 2. Условие: Система из 6 элементов. Вероятность отказа элемента \( p = 0,3 \). Найти вероятность, что отказали хотя бы пять элементов. Решение: Используем формулу Бернулли: \( P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k} \), где \( n = 6 \), \( p = 0,3 \), \( q = 1 - 0,3 = 0,7 \). Событие "отказали хотя бы пять" означает, что отказало либо 5, либо 6 элементов. \[ P(k \ge 5) = P_6(5) + P_6(6) \] \[ P_6(5) = C_6^5 \cdot (0,3)^5 \cdot (0,7)^1 = 6 \cdot 0,00243 \cdot 0,7 = 0,010206 \] \[ P_6(6) = C_6^6 \cdot (0,3)^6 \cdot (0,7)^0 = 1 \cdot 0,000729 \cdot 1 = 0,000729 \] \[ P(k \ge 5) = 0,010206 + 0,000729 = 0,010935 \] Ответ: 0,010935. Задача 3. Условие: Дан закон распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию. Решение: 1) Математическое ожидание \( M(X) \): \[ M(X) = \sum x_i p_i = 1 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,3 \] \[ M(X) = 0,1 + 1,2 + 0,8 + 1,5 = 3,6 \] 2) Дисперсия \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \): Найдем \( M(X^2) \): \[ M(X^2) = 1^2 \cdot 0,1 + 3^2 \cdot 0,4 + 4^2 \cdot 0,2 + 5^2 \cdot 0,3 \] \[ M(X^2) = 1 \cdot 0,1 + 9 \cdot 0,4 + 16 \cdot 0,2 + 25 \cdot 0,3 = 0,1 + 3,6 + 3,2 + 7,5 = 14,4 \] \[ D(X) = 14,4 - (3,6)^2 = 14,4 - 12,96 = 1,44 \] Ответ: \( M(X) = 3,6 \); \( D(X) = 1,44 \). Задача 4. Условие: Найти размах, моду, медиану и среднее выборки: 2; 3; 4; 2; 3; 7; 5; 6; 7; 3; 2. Решение: Упорядочим выборку (вариационный ряд): 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7. Количество элементов \( n = 11 \). 1) Размах \( R = X_{max} - X_{min} = 7 - 2 = 5 \). 2) Мода \( Mo \) — значение, которое встречается чаще всего. Числа 2 и 3 встречаются по 3 раза. Выборка бимодальная. \( Mo_1 = 2 \), \( Mo_2 = 3 \). 3) Медиана \( Me \) — средний элемент ряда. Так как \( n = 11 \), это 6-й элемент. \( Me = 3 \). 4) Среднее арифметическое \( \bar{x} \): \[ \bar{x} = \frac{2+2+2+3+3+3+4+5+6+7+7}{11} = \frac{44}{11} = 4 \] Ответ: Размах = 5; Мода = 2 и 3; Медиана = 3; Среднее = 4.