Решение задачи о браке ламп: Билет №24

Решение экзаменационного билета № 24 Задача 1. Условие: Из 1000 ламп 500 принадлежат 1 партии, 300 — ко второй, остальные — к третьей. В 1 партии 4% брака, во 2 — 3%, в 3 — 6%. Найти вероятность того, что выбранная наудачу лампа — бракованная. Решение: Используем формулу полной вероятности. Пусть событие \(A\) — лампа бракованная. Гипотезы: \(H_1\) — лампа из 1 партии, \(P(H_1) = \frac{500}{1000} = 0,5\); \(H_2\) — лампа из 2 партии, \(P(H_2) = \frac{300}{1000} = 0,3\); \(H_3\) — лампа из 3 партии, \(P(H_3) = \frac{1000 - 500 - 300}{1000} = \frac{200}{1000} = 0,2\). Условные вероятности брака: \(P(A|H_1) = 0,04\); \(P(A|H_2) = 0,03\); \(P(A|H_3) = 0,06\). Формула полной вероятности: \[P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) + P(H_3) \cdot P(A|H_3)\] \[P(A) = 0,5 \cdot 0,04 + 0,3 \cdot 0,03 + 0,2 \cdot 0,06 = 0,02 + 0,009 + 0,012 = 0,041\] Ответ: 0,041. Задача 2. Условие: Вероятность попадания в цель \(p = 0,7\). Сделано 5 выстрелов. Найти вероятность 3 попаданий. Решение: Используем формулу Бернулли: \[P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\] Где \(n = 5\), \(k = 3\), \(p = 0,7\), \(q = 1 - 0,7 = 0,3\). \[C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10\] \[P_5(3) = 10 \cdot (0,7)^3 \cdot (0,3)^2 = 10 \cdot 0,343 \cdot 0,09 = 0,3087\] Ответ: 0,3087. Задача 3. Условие: Дан закон распределения случайной величины \(X\). Найти математическое ожидание \(M(X)\) и дисперсию \(D(X)\). \(X\): -1; 0; 2; 3 \(P\): 0,1; 0,5; 0,1; 0,3 Решение: 1) Математическое ожидание: \[M(X) = \sum x_i p_i = (-1) \cdot 0,1 + 0 \cdot 0,5 + 2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,3 = -0,1 + 0 + 0,2 + 0,9 = 1\] 2) Дисперсия: \[D(X) = M(X^2) - (M(X))^2\] \[M(X^2) = (-1)^2 \cdot 0,1 + 0^2 \cdot 0,5 + 2^2 \cdot 0,1 + 3^2 \cdot 0,3 = 1 \cdot 0,1 + 0 + 4 \cdot 0,1 + 9 \cdot 0,3 = 0,1 + 0,4 + 2,7 = 3,2\] \[D(X) = 3,2 - 1^2 = 2,2\] Ответ: \(M(X) = 1\), \(D(X) = 2,2\). Задача 4. Условие: Найти размах, моду, медиану и среднее выборки: 6; 6; 3; 2; 3; 8; 7; 4; 8. Решение: Упорядочим выборку: 2, 3, 3, 4, 6, 6, 7, 8, 8. Количество элементов \(n = 9\). 1) Размах (\(R\)): разность между максимальным и минимальным значениями. \[R = 8 - 2 = 6\] 2) Мода (\(Mo\)): значения, которые встречаются чаще всего. В данной выборке это: 3, 6, 8 (каждое встречается по 2 раза). 3) Медиана (\(Me\)): значение, стоящее посередине упорядоченного ряда. Так как \(n = 9\) (нечетное), это 5-й элемент: \[Me = 6\] 4) Среднее выборочное (\(\bar{x}\)): \[\bar{x} = \frac{2+3+3+4+6+6+7+8+8}{9} = \frac{47}{9} \approx 5,22\] Ответ: Размах = 6; Мода = 3, 6, 8; Медиана = 6; Среднее \(\approx 5,22\).