Решение: Упростить выражение (алгебра)

Ниже представлено решение задач с листа, оформленное для удобного переписывания в тетрадь. Задание 1. Упростить выражение: \[ \left( \frac{a^2}{a+b} - \frac{a^3}{a^2+b^2+2ab} \right) : \left( \frac{a}{a+b} - \frac{a^2}{a^2-b^2} \right) \] Решение по действиям: 1) В первой скобке заметим формулу квадрата суммы \( a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 \): \[ \frac{a^2}{a+b} - \frac{a^3}{(a+b)^2} = \frac{a^2(a+b) - a^3}{(a+b)^2} = \frac{a^3 + a^2b - a^3}{(a+b)^2} = \frac{a^2b}{(a+b)^2} \] 2) Во второй скобке разложим разность квадратов \( a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \): \[ \frac{a}{a+b} - \frac{a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a(a-b) - a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 - ab - a^2}{a^2-b^2} = \frac{-ab}{a^2-b^2} \] 3) Выполним деление: \[ \frac{a^2b}{(a+b)^2} : \frac{-ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2b}{(a+b)^2} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{-ab} = \frac{a \cdot (a-b)}{-(a+b)} = \frac{a(b-a)}{a+b} \] Ответ: \( \frac{a(b-a)}{a+b} \) Задание 2. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} 3x + 5y = 21 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \] Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = 2x - 1 \). Подставим в первое: \[ 3x + 5(2x - 1) = 21 \] \[ 3x + 10x - 5 = 21 \] \[ 13x = 26 \implies x = 2 \] Найдем \( y \): \( y = 2 \cdot 2 - 1 = 3 \). Ответ: \( (2; 3) \) Задание 3. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ x - 2y = -3 \end{cases} \] Умножим первое уравнение на 2: \[ \begin{cases} 4x + 2y = 8 \\ x - 2y = -3 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 5x = 5 \implies x = 1 \] Подставим \( x = 1 \) в первое уравнение: \[ 2(1) + y = 4 \implies y = 2 \] Ответ: \( (1; 2) \) Задание 4. Решить уравнение: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] По теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 4 \\ x_1 \cdot x_2 = 3 \end{cases} \implies x_1 = 1, x_2 = 3 \] Ответ: \( 1; 3 \) Задание 5. Решить уравнение: \[ 2x^2 + 3x - 2 = 0 \] \[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2 \] \[ x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = 0,5; \quad x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2 \] Ответ: \( -2; 0,5 \) Задание 6. Решить уравнение: \[ 3x^2 - 5x + 2 = 0 \] Сумма коэффициентов \( 3 - 5 + 2 = 0 \), значит \( x_1 = 1 \). По теореме Виета \( x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3} \implies x_2 = \frac{2}{3} \). Ответ: \( \frac{2}{3}; 1 \) Задание 7. Решить уравнение: \[ 4x^2 + x - 3 = 0 \] \[ D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2 \] \[ x_1 = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = 0,75; \quad x_2 = \frac{-1 - 7}{8} = -1 \] Ответ: \( -1; 0,75 \) Задание 8. Вычислить: \[ \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + \frac{5}{6} - \frac{7}{3} \] Приведем к общему знаменателю 12: \[ \frac{3}{12} + \frac{18}{12} + \frac{10}{12} - \frac{28}{12} = \frac{3 + 18 + 10 - 28}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0,25 \] Ответ: \( 0,25 \) Задание 9. Вычислить: \[ \frac{5}{2} - \frac{1}{4} + \frac{3}{8} - \frac{7}{4} \] Приведем к общему знаменателю 8: \[ \frac{20}{8} - \frac{2}{8} + \frac{3}{8} - \frac{14}{8} = \frac{20 - 2 + 3 - 14}{8} = \frac{7}{8} = 0,875 \] Ответ: \( 0,875 \) Задание 10. Вычислить: \[ \frac{2}{3} + \frac{1}{6} + \frac{5}{12} - \frac{7}{2} \] Приведем к общему знаменателю 12: \[ \frac{8}{12} + \frac{2}{12} + \frac{5}{12} - \frac{42}{12} = \frac{8 + 2 + 5 - 42}{12} = \frac{-27}{12} = -2,25 \] Ответ: \( -2,25 \)