Решение задачи из Экзаменационного билета №24

Экзаменационный билет № 24 Задача 1. Для решения используем формулу полной вероятности. Пусть событие \(A\) — выбранная лампа бракованная. Всего ламп 1000. Определим вероятности гипотез \(H_i\) (лампа принадлежит \(i\)-й партии): \(P(H_1) = \frac{500}{1000} = 0,5\) \(P(H_2) = \frac{300}{1000} = 0,3\) \(P(H_3) = \frac{1000 - 500 - 300}{1000} = \frac{200}{1000} = 0,2\) Вероятности брака в каждой партии: \(P(A|H_1) = 0,04\) \(P(A|H_2) = 0,03\) \(P(A|H_3) = 0,06\) По формуле полной вероятности: \[P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) + P(H_3) \cdot P(A|H_3)\] \[P(A) = 0,5 \cdot 0,04 + 0,3 \cdot 0,03 + 0,2 \cdot 0,06\] \[P(A) = 0,02 + 0,009 + 0,012 = 0,041\] Ответ: 0,041. Задача 2. Используем формулу Бернулли. \(n = 5\) (количество выстрелов) \(k = 3\) (количество попаданий) Вероятность попадания \(p = 0,7\), вероятность промаха \(q = 1 - 0,7 = 0,3\). \[P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\] \[P_5(3) = C_5^3 \cdot (0,7)^3 \cdot (0,3)^{5-3}\] \[C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10\] \[P_5(3) = 10 \cdot 0,343 \cdot 0,09 = 0,3087\] Ответ: 0,3087. Задача 3. 1) Математическое ожидание \(M(X)\): \[M(X) = \sum x_i p_i = (-1) \cdot 0,1 + 0 \cdot 0,5 + 2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,3\] \[M(X) = -0,1 + 0 + 0,2 + 0,9 = 1,0\] 2) Дисперсия \(D(X)\): Найдем \(M(X^2)\): \[M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = (-1)^2 \cdot 0,1 + 0^2 \cdot 0,5 + 2^2 \cdot 0,1 + 3^2 \cdot 0,3\] \[M(X^2) = 1 \cdot 0,1 + 0 + 4 \cdot 0,1 + 9 \cdot 0,3 = 0,1 + 0,4 + 2,7 = 3,2\] \[D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 3,2 - (1,0)^2 = 3,2 - 1 = 2,2\] Ответ: \(M(X) = 1,0\); \(D(X) = 2,2\). Задача 4. Выборка: 6; 6; 3; 2; 3; 8; 7; 4; 8. Упорядочим выборку: 2; 3; 3; 4; 6; 6; 7; 8; 8. Объем выборки \(n = 9\). 1) Размах \(R = x_{max} - x_{min} = 8 - 2 = 6\). 2) Мода \(Mo\). Значения 3, 6 и 8 встречаются по 2 раза. Выборка мультимодальная. \(Mo = 3; 6; 8\). 3) Медиана \(Me\). Так как \(n = 9\), медиана — это 5-й элемент ряда. \(Me = 6\). 4) Среднее выборки \(\bar{x}\): \[\bar{x} = \frac{2+3+3+4+6+6+7+8+8}{9} = \frac{47}{9} \approx 5,22\] Ответ: Размах = 6; Мода = 3, 6, 8; Медиана = 6; Среднее \(\approx 5,22\).