Решение задач: Признаки равенства треугольников

Ниже представлено решение задач с рисунка, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Определение признаков равенства треугольников. а) Треугольники \(ABC\) и \(ADC\). По рисунку: \(AB = AD\), \(BC = DC\), сторона \(AC\) — общая. Ответ: Треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам). б) Треугольники \(BDC\) и \(ADC\). По рисунку: \(BC = AC\), \(\angle BCD = \angle ACD\), сторона \(DC\) — общая. Ответ: Треугольники равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). в) Треугольники \(AOB\) и \(DOC\). По рисунку: \(AO = DO\), \(\angle A = \angle D\), \(\angle AOB = \angle DOC\) (как вертикальные). Ответ: Треугольники равны по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Задача 2. Нахождение периметра треугольника \(ABC\). а) На рисунке изображен равнобедренный треугольник (\(AB = BC\)), \(BK\) — высота. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, значит \(AK = KC = 6\). Тогда \(AC = 6 + 6 = 12\). Сторона \(BC = 11\), следовательно \(AB = 11\). \[P_{ABC} = AB + BC + AC = 11 + 11 + 12 = 34\] Ответ: 34. б) На рисунке \(BK\) — биссектриса и медиана (\(AK = KC = 5\)). Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то он равнобедренный (\(AB = BC\)). Значит \(BC = 12\). Основание \(AC = 5 + 5 = 10\). \[P_{ABC} = 12 + 12 + 10 = 34\] Ответ: 34. в) На рисунке \(BK\) — высота и медиана (\(CK = KA = 4\)). Значит треугольник \(ABC\) равнобедренный (\(AB = BC\)). По рисунку \(AB = 5\), тогда \(BC = 5\). Основание \(AC = 4 + 4 = 8\). \[P_{ABC} = 5 + 5 + 8 = 18\] Ответ: 18. Задача 3. Нахождение длины стороны \(AB\). а) Дано: \(P_{ABC} = 32\), \(AC = 12\). По углам при основании (\(\angle B = \angle C\)) треугольник равнобедренный, \(AB = AC = 12\). Проверим по периметру: если \(AB = AC = 12\), то \(BC = 32 - 12 - 12 = 8\). Ответ: \(AB = 12\). б) Дано: \(P_{ABC} = 48\), \(BC = 18\). По углам (\(\angle A = \angle B\)) треугольник равнобедренный, \(AC = BC = 18\). \[AB = P_{ABC} - (AC + BC) = 48 - (18 + 18) = 48 - 36 = 12\] Ответ: \(AB = 12\). в) Дано: \(P_{ABC} = 26\). На рисунке проведена высота, которая является медианой (\(4 = 4\)), значит \(AB = AC\). Основание \(BC = 4 + 4 = 8\). Так как \(AB = AC\), то: \[2 \cdot AB + BC = P_{ABC}\] \[2 \cdot AB + 8 = 26\] \[2 \cdot AB = 18\] \[AB = 9\] Ответ: \(AB = 9\).