Решение системы уравнений методом Гаусса - Вариант 31

Вариант 31 Задание 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Система уравнений: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 1 \\ 3x_1 - x_2 - x_3 - 2x_4 = -4 \\ 2x_1 + 3x_2 - x_3 - x_4 = -6 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 - x_4 = -4 \end{cases} \] Решение: Запишем расширенную матрицу системы: \[ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & -2 & -4 \\ 2 & 3 & -1 & -1 & -6 \\ 1 & 2 & 3 & -1 & -4 \end{array} \right) \] Приведем матрицу к ступенчатому виду. 1. Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3; из третьей — первую, умноженную на 2; из четвертой — первую: \[ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -4 & -7 & -11 & -7 \\ 0 & 1 & -5 & -7 & -8 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & -5 \end{array} \right) \] 2. Поменяем вторую и четвертую строки местами для удобства вычислений: \[ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 1 & -5 & -7 & -8 \\ 0 & -4 & -7 & -11 & -7 \end{array} \right) \] 3. Вычтем из третьей строки вторую; к четвертой строке прибавим вторую, умноженную на 4: \[ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 0 & -6 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & -3 & -27 & -27 \end{array} \right) \] 4. Разделим третью строку на -3, а четвертую на -3: \[ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 9 \end{array} \right) \] 5. Поменяем третью и четвертую строки местами: \[ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 9 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \end{array} \right) \] 6. Вычтем из четвертой строки третью, умноженную на 2: \[ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & -17 & -17 \end{array} \right) \] Теперь найдем значения переменных (обратный ход): Из 4-й строки: \[ -17x_4 = -17 \Rightarrow x_4 = 1 \] Из 3-й строки: \[ x_3 + 9x_4 = 9 \Rightarrow x_3 + 9(1) = 9 \Rightarrow x_3 = 0 \] Из 2-й строки: \[ x_2 + x_3 - 4x_4 = -5 \Rightarrow x_2 + 0 - 4(1) = -5 \Rightarrow x_2 = -1 \] Из 1-й строки: \[ x_1 + x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 1 \Rightarrow x_1 - 1 + 2(0) + 3(1) = 1 \Rightarrow x_1 + 2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1 \] Ответ: \( x_1 = -1, x_2 = -1, x_3 = 0, x_4 = 1 \).