Решение задачи по векторам Вариант 1

Ниже представлено подробное решение Варианта 1 из контрольной работы по теме Векторы. Вариант 1 Задание 1 Даны точки \(A(-3; 1)\), \(B(1; -2)\) и \(C(-1; 0)\). 1) Координаты векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\): Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала. \[\vec{AB} = (1 - (-3); -2 - 1) = (4; -3)\] \[\vec{AC} = (-1 - (-3); 0 - 1) = (2; -1)\] 2) Модули векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\): \[|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\] \[|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\] 3) Координаты вектора \(\vec{MK} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC}\): \[2\vec{AB} = (2 \cdot 4; 2 \cdot (-3)) = (8; -6)\] \[3\vec{AC} = (3 \cdot 2; 3 \cdot (-1)) = (6; -3)\] \[\vec{MK} = (8 - 6; -6 - (-3)) = (2; -3)\] 4) Скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\): \[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) = 8 + 3 = 11\] 5) Косинус угла между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\): \[\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{11}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{11}{5\sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{25}\] Задание 2 Построение векторов в треугольнике ABC: 1) \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) (по правилу треугольника). 2) \(\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}\) (по правилу вычитания векторов). 3) \(\vec{CA} + \vec{CB}\) — строится по правилу параллелограмма от точки C. Задание 3 Даны векторы \(\vec{m}(4; 14)\) и \(\vec{n}(-7; k)\). 1) Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны: \[\frac{4}{-7} = \frac{14}{k}\] \[4k = -7 \cdot 14\] \[4k = -98\] \[k = -24,5\] 2) Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \[4 \cdot (-7) + 14 \cdot k = 0\] \[-28 + 14k = 0\] \[14k = 28\] \[k = 2\] Задание 4 В параллелограмме ABCD: \(BM:MC = 2:5\), \(CP:PD = 3:1\). Выразить \(\vec{MP}\) через \(\vec{a} = \vec{AB}\) и \(\vec{b} = \vec{AD}\). По правилу сложения: \(\vec{MP} = \vec{MC} + \vec{CP}\). Так как \(BC = AD = \vec{b}\) и \(BM:MC = 2:5\), то \(\vec{MC} = \frac{5}{7}\vec{BC} = \frac{5}{7}\vec{b}\). Так как \(CD = BA = -\vec{a}\) и \(CP:PD = 3:1\), то \(\vec{CP} = \frac{3}{4}\vec{CD} = \frac{3}{4}(-\vec{a}) = -\frac{3}{4}\vec{a}\). Итого: \(\vec{MP} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{5}{7}\vec{b}\). Задание 5 Найти косинус угла между \(\vec{a} = 4\vec{m} - \vec{p}\) и \(\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{p}\), если \(\vec{m} \perp \vec{p}\) и \(|\vec{m}| = |\vec{p}| = 1\). Скалярное произведение: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = (4\vec{m} - \vec{p})(\vec{m} + 2\vec{p}) = 4\vec{m}^2 + 8\vec{m}\vec{p} - \vec{p}\vec{m} - 2\vec{p}^2\] Так как \(\vec{m} \perp \vec{p}\), то \(\vec{m}\vec{p} = 0\). Так как \(|\vec{m}|=|\vec{p}|=1\), то \(\vec{m}^2=1, \vec{p}^2=1\). \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 4(1) + 0 - 0 - 2(1) = 2\] Длины векторов: \[|\vec{a}| = \sqrt{(4\vec{m} - \vec{p})^2} = \sqrt{16\vec{m}^2 - 8\vec{m}\vec{p} + \vec{p}^2} = \sqrt{16 - 0 + 1} = \sqrt{17}\] \[|\vec{b}| = \sqrt{(\vec{m} + 2\vec{p})^2} = \sqrt{\vec{m}^2 + 4\vec{m}\vec{p} + 4\vec{p}^2} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5}\] Косинус угла: \[\cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{2}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{85}}\]