Решение системы уравнений: Задание 3

Задание 3 \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ x^2 - y = -1 \end{cases} \] 1. \(x^2 + y^2 = 1\) — окружность с центром в точке \((0; 0)\) и радиусом \(R = 1\). 2. \(y = x^2 + 1\) — парабола с вершиной в точке \((0; 1)\), ветви направлены вверх. При схематическом построении графики пересекаются в трех точках: \((0; 1)\), \((1; 2)\) и \((-1; 2)\) — неверно, проверим аналитически: Если \(x=0\), то \(y=1\). Точка \((0; 1)\) общая. Если \(y=0\), то из второго уравнения \(x^2 = -1\) (нет решений). Графики имеют 3 точки пересечения: \((0; 1)\), \((1; 2)\) и \((-1; 2)\) не подходят под первое уравнение. Правильный анализ: Подставим \(x^2 = y - 1\) в первое уравнение: \(y - 1 + y^2 = 1\) \(y^2 + y - 2 = 0\) По теореме Виета: \(y_1 = 1\), \(y_2 = -2\). Если \(y = 1\), то \(x^2 = 1 - 1 = 0 \Rightarrow x = 0\). Точка \((0; 1)\). Если \(y = -2\), то \(x^2 = -2 - 1 = -3\) (нет решений). Ответ: 1 решение. Задание 4 \[ \begin{cases} y = x^2 + 3 \\ x^2 + y^2 = 17 \end{cases} \] Выразим \(x^2\) из первого уравнения: \(x^2 = y - 3\). Подставим во второе уравнение: \(y - 3 + y^2 = 17\) \(y^2 + y - 20 = 0\) \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2\) \(y_1 = \frac{-1 + 9}{2} = 4\) \(y_2 = \frac{-1 - 9}{2} = -5\) Находим \(x\) для каждого \(y\): 1) При \(y = 4\): \(x^2 = 4 - 3 = 1\) \(x_1 = 1, x_2 = -1\) Точки: \((1; 4)\) и \((-1; 4)\). 2) При \(y = -5\): \(x^2 = -5 - 3 = -8\) Решений нет, так как \(x^2 \ge 0\). Ответ: \((1; 4), (-1; 4)\). Задание 5 \[ \begin{cases} x + y = 4 \\ x^2 + 2xy + 2y^2 = 17 \end{cases} \] Выразим \(x\) из первого уравнения: \(x = 4 - y\). Подставим во второе уравнение: \((4 - y)^2 + 2y(4 - y) + 2y^2 = 17\) \(16 - 8y + y^2 + 8y - 2y^2 + 2y^2 = 17\) \(y^2 + 16 = 17\) \(y^2 = 1\) \(y_1 = 1, y_2 = -1\) Находим \(x\): 1) Если \(y_1 = 1\), то \(x_1 = 4 - 1 = 3\). 2) Если \(y_2 = -1\), то \(x_2 = 4 - (-1) = 5\). Ответ: \((3; 1), (5; -1)\).