Решение Систем Уравнений с Графиками

Решение систем уравнений. Для решения каждой системы приравняем правые части уравнений, найдем значения \(x\), а затем соответствующие значения \(y\). Система 1: \[ \begin{cases} y = x^2 - 4x + 4 \\ y = -x^2 + 4x \end{cases} \] Приравниваем: \[ x^2 - 4x + 4 = -x^2 + 4x \] \[ 2x^2 - 8x + 4 = 0 \] Разделим на 2: \[ x^2 - 4x + 2 = 0 \] \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8 \] \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2} \] \[ x_1 \approx 3,41; \quad x_2 \approx 0,59 \] Подставим \(x_1\) во второе уравнение: \[ y_1 = -(2+\sqrt{2})^2 + 4(2+\sqrt{2}) = -(4 + 4\sqrt{2} + 2) + 8 + 4\sqrt{2} = -6 - 4\sqrt{2} + 8 + 4\sqrt{2} = 2 \] Аналогично для \(x_2\): \[ y_2 = 2 \] Ответ: \((2+\sqrt{2}; 2), (2-\sqrt{2}; 2)\). Система 2: \[ \begin{cases} y = x^2 + 2x + 3 \\ y = -x^2 + 2x + 5 \end{cases} \] Приравниваем: \[ x^2 + 2x + 3 = -x^2 + 2x + 5 \] \[ 2x^2 = 2 \] \[ x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1 \] Находим \(y\): \[ y_1 = 1^2 + 2(1) + 3 = 6 \] \[ y_2 = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \] Ответ: \((1; 6), (-1; 2)\). Система 3: \[ \begin{cases} y = 4x^2 - 8 \\ y = x^3 + \frac{1}{2} \end{cases} \] Приравниваем: \[ x^3 - 4x^2 + 8,5 = 0 \] Данное уравнение решается приближенно или методом подбора. Одним из корней является \(x \approx 1,78\). При \(x \approx 1,78\): \[ y \approx 4(1,78)^2 - 8 \approx 4,67 \] Также есть корни в отрицательной области и при больших \(x\). Обычно в школьной программе такие системы решаются графически. Система 4: \[ \begin{cases} y = x^2 - 6x + 9 \\ y = x^3 - 4 \end{cases} \] Заметим, что первое уравнение это \(y = (x-3)^2\). Приравниваем: \[ x^3 - x^2 + 6x - 13 = 0 \] Методом подбора находим корень \(x \approx 2,15\). Подставляем в первое уравнение: \[ y \approx (2,15 - 3)^2 = (-0,85)^2 \approx 0,72 \] Ответ: \(\approx (2,15; 0,72)\). Построение графиков: Для первой и второй систем графиками являются параболы. Для третьей и четвертой — парабола и кубическая парабола. Точки пересечения графиков соответствуют найденным решениям.