Решение неравенства методом интервалов: x/((x+2)(x-3)) ≥ 0

Решение неравенства методом интервалов. Дано неравенство: \[ \frac{x}{(x+2)(x-3)} \geq 0 \] 1. Найдем нули числителя и знаменателя: Числитель: \( x = 0 \) Знаменатель: \( x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \) \( x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \) 2. Отметим полученные точки на числовой прямой. Точка \( 0 \) будет закрашенной (так как неравенство нестрогое), а точки \( -2 \) и \( 3 \) — выколотыми (так как они находятся в знаменателе). 3. Определим знаки выражения на каждом интервале: - На интервале \( (3; +\infty) \): возьмем \( x = 4 \), тогда \( \frac{4}{(4+2)(4-3)} = \frac{4}{6 \cdot 1} > 0 \) (знак +) - На интервале \( (0; 3) \): возьмем \( x = 1 \), тогда \( \frac{1}{(1+2)(1-3)} = \frac{1}{3 \cdot (-2)} < 0 \) (знак -) - На интервале \( (-2; 0) \): возьмем \( x = -1 \), тогда \( \frac{-1}{(-1+2)(-1-3)} = \frac{-1}{1 \cdot (-4)} > 0 \) (знак +) - На интервале \( (-\infty; -2) \): возьмем \( x = -3 \), тогда \( \frac{-3}{(-3+2)(-3-3)} = \frac{-3}{-1 \cdot (-6)} < 0 \) (знак -) Схематичный рисунок (распределение знаков): - - - (-2) + + + [0] - - - (3) + + + 4. Нам подходят интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак +). Ответ: \[ x \in (-2; 0] \cup (3; +\infty) \]