Задача №301: Расчет напряженности электрического поля

Задача №301 Дано: \(q_1 = q_2 = q = 1,0 \cdot 10^{-7}\) Кл \(l = 8,0\) см \(= 0,08\) м \(r = 5,0\) см \(= 0,05\) м \(k = 9 \cdot 10^9\) Н·м²/Кл² Найти: \(E_O\) — ?, \(E_A\) — ? Решение: а) Напряженность в точке О (середина отрезка). В точке О векторы напряженности \(\vec{E_1}\) и \(\vec{E_2}\), создаваемые каждым из зарядов, направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (так как заряды положительные и отталкивают пробный заряд). Так как заряды одинаковы и расстояния до точки О равны (\(d = l/2\)), то модули напряженностей равны: \[E_1 = E_2 = \frac{k \cdot q}{(l/2)^2}\] По принципу суперпозиции результирующая напряженность: \[\vec{E_O} = \vec{E_1} + \vec{E_2}\] В проекции на ось, направленную вдоль отрезка: \[E_O = E_1 - E_2 = 0\] Ответ а): \(E_O = 0\). б) Напряженность в точке А. Точка А находится на расстоянии \(r\) от каждого заряда. Это значит, что заряды и точка А образуют равнобедренный треугольник. Напряженность от каждого заряда по модулю равна: \[E_1 = E_2 = \frac{k \cdot q}{r^2}\] \[E_1 = E_2 = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 1,0 \cdot 10^{-7}}{(0,05)^2} = \frac{900}{0,0025} = 3,6 \cdot 10^5 \text{ В/м}\] Вектор результирующей напряженности \(\vec{E_A}\) направлен по биссектрисе угла при вершине А (перпендикулярно отрезку \(l\)). Из геометрии системы: \[E_A = 2 \cdot E_1 \cdot \cos(\alpha)\] где \(\alpha\) — угол между вектором \(\vec{E_1}\) и высотой треугольника. Высота треугольника \(h\) из точки А на отрезок \(l\): \[h = \sqrt{r^2 - (l/2)^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \text{ см} = 0,03 \text{ м}\] Тогда \(\cos(\alpha) = \frac{h}{r} = \frac{3}{5} = 0,6\). Вычисляем итоговое значение: \[E_A = 2 \cdot 3,6 \cdot 10^5 \cdot 0,6 = 4,32 \cdot 10^5 \text{ В/м}\] Ответ б): \(E_A = 4,32 \cdot 10^5 \text{ В/м}\). Схематичный рисунок для тетради: Случай а): (+)q1 ------> E2 (O) E1 <------ (+)q2 (Векторы направлены навстречу друг другу, точка О посередине) Случай б): (A) / ^ \ / | \ E1 / |Ea \ E2 / | \ (+)q1-------(+)q2 (Векторы E1 и E2 направлены от зарядов вверх-в сторону, их сумма Ea направлена строго вверх)