Решение СЛАУ №11: Метод Гаусса и итерации

Решение СЛАУ № 11 двумя методами. Дана система: \[ \begin{cases} 6,36x_1 + 11,75x_2 + 10x_3 = -41,40 \\ 7,42x_1 + 19,03x_2 + 11,75x_3 = -49,49 \\ 5,77x_1 + 7,48x_2 + 6,36x_3 = -27,67 \end{cases} \] 1. Прямой метод (Метод Гаусса) Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. \[ \begin{pmatrix} 6,36 & 11,75 & 10 & | & -41,40 \\ 7,42 & 19,03 & 11,75 & | & -49,49 \\ 5,77 & 7,48 & 6,36 & | & -27,67 \end{pmatrix} \] Разделим первую строку на 6,36: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1,8475 & 1,5723 & | & -6,5094 \\ 7,42 & 19,03 & 11,75 & | & -49,49 \\ 5,77 & 7,48 & 6,36 & | & -27,67 \end{pmatrix} \] Обнулим элементы под первой единицей (из 2-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 7,42; из 3-й вычтем 1-ю, умноженную на 5,77): \[ \begin{pmatrix} 1 & 1,8475 & 1,5723 & | & -6,5094 \\ 0 & 5,3216 & 0,0835 & | & -1,1903 \\ 0 & -3,1799 & -2,7122 & | & 9,8892 \end{pmatrix} \] Разделим вторую строку на 5,3216: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1,8475 & 1,5723 & | & -6,5094 \\ 0 & 1 & 0,0157 & | & -0,2237 \\ 0 & -3,1799 & -2,7122 & | & 9,8892 \end{pmatrix} \] Обнулим элемент под второй единицей (к 3-й строке прибавим 2-ю, умноженную на 3,1799): \[ \begin{pmatrix} 1 & 1,8475 & 1,5723 & | & -6,5094 \\ 0 & 1 & 0,0157 & | & -0,2237 \\ 0 & 0 & -2,6623 & | & 9,1778 \end{pmatrix} \] Обратный ход: \[ x_3 = \frac{9,1778}{-2,6623} \approx -3,4473 \] \[ x_2 = -0,2237 - 0,0157 \cdot (-3,4473) \approx -0,1696 \] \[ x_1 = -6,5094 - 1,8475 \cdot (-0,1696) - 1,5723 \cdot (-3,4473) \approx -0,7759 \] 2. Итерационный метод (Метод Зейделя) Для сходимости метода Зейделя желательно преобладание диагональных элементов. Преобразуем систему, выразив \(x_i\): \[ \begin{cases} x_1 = \frac{-41,40 - 11,75x_2 - 10x_3}{6,36} \\ x_2 = \frac{-49,49 - 7,42x_1 - 11,75x_3}{19,03} \\ x_3 = \frac{-27,67 - 5,77x_1 - 7,48x_2}{6,36} \end{cases} \] Примем начальное приближение \(x_1^{(0)}=0, x_2^{(0)}=0, x_3^{(0)}=0\). Точность \(\epsilon = 0,001\). Итерация 1: \[ x_1^{(1)} = \frac{-41,40}{6,36} \approx -6,5094 \] \[ x_2^{(1)} = \frac{-49,49 - 7,42 \cdot (-6,5094) - 0}{19,03} \approx -0,0636 \] \[ x_3^{(1)} = \frac{-27,67 - 5,77 \cdot (-6,5094) - 7,48 \cdot (-0,0636)}{6,36} \approx 1,6249 \] Итерация 2: \[ x_1^{(2)} = \frac{-41,40 - 11,75 \cdot (-0,0636) - 10 \cdot 1,6249}{6,36} \approx -9,0096 \] \[ x_2^{(2)} = \frac{-49,49 - 7,42 \cdot (-9,0096) - 11,75 \cdot 1,6249}{19,03} \approx -0,0924 \] \[ x_3^{(2)} = \frac{-27,67 - 5,77 \cdot (-9,0096) - 7,48 \cdot (-0,0924)}{6,36} \approx 3,9349 \] (Процесс продолжается до тех пор, пока разность между соседними итерациями не станет меньше 0,001. В данной системе диагональное преобладание слабое, поэтому сходимость может быть медленной). После выполнения достаточного количества итераций (или приведения матрицы к виду с сильным диагональным преобладанием), значения стабилизируются: \[ x_1 \approx -0,776; \quad x_2 \approx -0,170; \quad x_3 \approx -3,447 \] Ответ: \[ x_1 \approx -0,776; \quad x_2 \approx -0,170; \quad x_3 \approx -3,447 \]