Решение задач билета №7

Ниже представлено подробное решение задач из экзаменационного билета № 7. 1. Вычислить неопределённые интегралы: А) \(\int (1+x)^2 dx\) Решение: Раскроем квадрат суммы по формуле \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\): \[(1+x)^2 = 1 + 2x + x^2\] Интегрируем каждое слагаемое отдельно: \[\int (1 + 2x + x^2) dx = \int 1 dx + \int 2x dx + \int x^2 dx = x + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + C = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + C\] Ответ: \(x + x^2 + \frac{x^3}{3} + C\) Б) \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\) Решение: Данный интеграл является табличным. \[\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C\] Ответ: \(\arcsin x + C\) 2. Решить дифференциальные уравнения: А) \(y'' + 2y' + 1y = 0\) Решение: Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: \[k^2 + 2k + 1 = 0\] Заметим, что это полный квадрат: \[(k+1)^2 = 0 \Rightarrow k_1 = k_2 = -1\] Так как корни вещественные и совпадающие, общее решение имеет вид: \[y = (C_1 + C_2 x) e^{kx}\] Подставляем \(k = -1\): \[y = (C_1 + C_2 x) e^{-x}\] Ответ: \(y = (C_1 + C_2 x) e^{-x}\) Б) \((x+1)dy + xydx = 0\) Решение: Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, перенеся одно слагаемое в правую часть: \[(x+1)dy = -xydx\] Разделим обе части на \(y(x+1)\), предполагая, что они не равны нулю: \[\frac{dy}{y} = -\frac{x}{x+1} dx\] Преобразуем дробь в правой части: \(\frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}\). Интегрируем обе части: \[\int \frac{dy}{y} = -\int (1 - \frac{1}{x+1}) dx\] \[\ln|y| = -(x - \ln|x+1|) + \ln|C|\] \[\ln|y| = -x + \ln|x+1| + \ln|C|\] \[\ln|y| - \ln|x+1| = -x + \ln|C|\] \[\ln|\frac{y}{x+1}| = -x + \ln|C|\] \[\frac{y}{x+1} = C e^{-x}\] \[y = C(x+1)e^{-x}\] Ответ: \(y = C(x+1)e^{-x}\) 3. Вычислить определённый интеграл: \(\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx\) Решение: Применим метод замены переменной. Пусть \(t = \frac{1}{x}\). Тогда производная \(dt = -\frac{1}{x^2} dx\), откуда \(\frac{dx}{x^2} = -dt\). Изменим пределы интегрирования: Если \(x = 1\), то \(t = \frac{1}{1} = 1\). Если \(x = 2\), то \(t = \frac{1}{2} = 0,5\). Подставляем в интеграл: \[\int_{1}^{0,5} e^t (-dt) = -\int_{1}^{0,5} e^t dt = \int_{0,5}^{1} e^t dt\] По формуле Ньютона-Лейбница: \[[e^t]_{0,5}^{1} = e^1 - e^{0,5} = e - \sqrt{e}\] Ответ: \(e - \sqrt{e}\)