Решение задачи №5: Определение параметров адсорбции гексанола

Хорошо, давайте решим эту задачу. Задача №5 В задаче на основании опытных данных, полученных при исследовании поверхностного натяжения указанного водного раствора ПАВ при 20 °C, рассчитай площадь, занимаемую одной молекулой ПАВ и толщину адсорбционного монослоя графическим способом. ПАВ - гексанол. Таблица данных: | \(c \cdot 10^3\), моль/л | 0,0 | 0,100 | 0,631 | 1,260 | 2,51 | 3,98 | 6,31 | 10,00 | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | \(\sigma \cdot 10^3\), Дж/м\(^2\) | 72,75 | 70,00 | 69,40 | 67,80 | 64,40 | 60,50 | 55,40 | 50,20 | --- Решение: Для решения этой задачи нам потребуется построить график зависимости поверхностного натяжения \(\sigma\) от логарифма концентрации \(\ln c\). Затем, используя изотерму адсорбции Гиббса, мы сможем определить адсорбцию \(\Gamma\), а затем площадь, занимаемую одной молекулой, и толщину монослоя. 1. Пересчитаем концентрации в моль/м\(^3\) и возьмем натуральный логарифм от них. Поскольку \(1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3 = 10^{-3} \text{ м}^3\), то \(1 \text{ моль/л} = 10^3 \text{ моль/м}^3\). Значит, \(c \cdot 10^3 \text{ моль/л}\) соответствует \(c \cdot 10^3 \cdot 10^3 \text{ моль/м}^3 = c \text{ моль/м}^3\). То есть, значения в таблице уже даны в моль/м\(^3\), если убрать множитель \(10^3\) из единиц измерения. Давайте пересчитаем концентрации в моль/м\(^3\) и найдем \(\ln c\). | \(c \cdot 10^3\), моль/л | \(c\), моль/м\(^3\) | \(\ln c\) | \(\sigma \cdot 10^3\), Дж/м\(^2\) | |---|---|---|---| | 0,0 | 0 | - | 72,75 | | 0,100 | 0,100 | \(\ln(0,100) = -2,30\) | 70,00 | | 0,631 | 0,631 | \(\ln(0,631) = -0,46\) | 69,40 | | 1,260 | 1,260 | \(\ln(1,260) = 0,23\) | 67,80 | | 2,51 | 2,51 | \(\ln(2,51) = 0,92\) | 64,40 | | 3,98 | 3,98 | \(\ln(3,98) = 1,38\) | 60,50 | | 6,31 | 6,31 | \(\ln(6,31) = 1,84\) | 55,40 | | 10,00 | 10,00 | \(\ln(10,00) = 2,30\) | 50,20 | 2. Построим график зависимости \(\sigma\) от \(\ln c\). (Здесь должен быть график. Поскольку я не могу нарисовать его напрямую, я опишу, как его построить и что из него получить. Вам нужно будет начертить его на миллиметровке или в тетради.) По оси X откладываем \(\ln c\), по оси Y откладываем \(\sigma \cdot 10^3\). Точки для построения: (-2.30, 70.00) (-0.46, 69.40) (0.23, 67.80) (0.92, 64.40) (1.38, 60.50) (1.84, 55.40) (2.30, 50.20) Начальная точка (0, 72.75) соответствует чистому растворителю (воде) и не используется для расчета адсорбции ПАВ, так как при \(c=0\) \(\ln c\) не определен. График будет представлять собой кривую, которая сначала полого убывает, а затем становится более крутой. Нам нужно найти участок, где зависимость \(\sigma\) от \(\ln c\) становится линейной или почти линейной. Этот участок соответствует насыщению адсорбционного слоя. Примерный вид графика: ``` ^ sigma (мДж/м^2) | 75+ | 70+ o | o 65+ o | o 60+ o | o 55+ o | o 50+-------------------------------------> ln c -2 -1 0 1 2 3 ``` 3. Определим адсорбцию \(\Gamma\) по изотерме Гиббса. Изотерма адсорбции Гиббса для неэлектролитов при постоянной температуре: \[ \Gamma = -\frac{1}{RT} \left( \frac{d\sigma}{d\ln c} \right)_T \] где: \(\Gamma\) - адсорбция (моль/м\(^2\)) \(R\) - универсальная газовая постоянная (\(8,314 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}\)) \(T\) - абсолютная температура (К) \(\left( \frac{d\sigma}{d\ln c} \right)_T\) - тангенс угла наклона касательной к кривой \(\sigma = f(\ln c)\) на линейном участке. Температура \(T = 20 \text{ °C} = 20 + 273,15 = 293,15 \text{ К}\). \(RT = 8,314 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \cdot 293,15 \text{ К} \approx 2437,3 \text{ Дж/моль}\). На графике найдем линейный участок. Обычно это происходит при более высоких концентрациях, где поверхностный слой уже почти насыщен. Возьмем последние точки, например, от \(\ln c = 0,92\) до \(\ln c = 2,30\). Для расчета \(\frac{d\sigma}{d\ln c}\) возьмем две крайние точки на этом участке: Точка 1: \((\ln c_1, \sigma_1) = (0,92, 64,40 \cdot 10^{-3})\) Точка 2: \((\ln c_2, \sigma_2) = (2,30, 50,20 \cdot 10^{-3})\) \[ \frac{d\sigma}{d\ln c} \approx \frac{\Delta\sigma}{\Delta\ln c} = \frac{(50,20 - 64,40) \cdot 10^{-3} \text{ Дж/м}^2}{(2,30 - 0,92)} \] \[ \frac{d\sigma}{d\ln c} = \frac{-14,20 \cdot 10^{-3} \text{ Дж/м}^2}{1,38} \approx -10,29 \cdot 10^{-3} \text{ Дж/м}^2 \] Теперь рассчитаем адсорбцию \(\Gamma\): \[ \Gamma = -\frac{1}{2437,3 \text{ Дж/моль}} \cdot (-10,29 \cdot 10^{-3} \text{ Дж/м}^2) \] \[ \Gamma = \frac{10,29 \cdot 10^{-3}}{2437,3} \text{ моль/м}^2 \] \[ \Gamma \approx 4,22 \cdot 10^{-6} \text{ моль/м}^2 \] 4. Рассчитаем площадь, занимаемую одной молекулой ПАВ (\(S_0\)). Площадь, занимаемая одной молекулой, связана с адсорбцией \(\Gamma\) и числом Авогадро \(N_A\): \[ S_0 = \frac{1}{\Gamma \cdot N_A} \] где \(N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}\). \[ S_0 = \frac{1}{4,22 \cdot 10^{-6} \text{ моль/м}^2 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \] \[ S_0 = \frac{1}{25,42 \cdot 10^{17}} \text{ м}^2 \] \[ S_0 \approx 3,93 \cdot 10^{-19} \text{ м}^2 \] Часто площадь выражают в ангстремах в квадрате (\(\text{Å}^2\)). \(1 \text{ м}^2 = 10^{20} \text{ Å}^2\). \[ S_0 = 3,93 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{20} \text{ Å}^2 = 39,3 \text{ Å}^2 \] 5. Рассчитаем толщину адсорбционного монослоя (\(\delta\)). Для расчета толщины монослоя нам нужно знать молярный объем ПАВ. Молярный объем \(V_m\) можно найти, зная плотность \(\rho\) и молярную массу \(M\) ПАВ: \[ V_m = \frac{M}{\rho} \] ПАВ - гексанол (1-гексанол), формула \(C_6H_{13}OH\). Молярная масса гексанола: \(M = 6 \cdot 12,011 + 14 \cdot 1,008 + 15,999 + 1,008 = 72,066 + 14,112 + 15,999 + 1,008 = 103,185 \text{ г/моль}\). \(M \approx 0,103185 \text{ кг/моль}\). Плотность гексанола при 20 °C: \(\rho \approx 0,819 \text{ г/см}^3 = 819 \text{ кг/м}^3\). Молярный объем гексанола: \[ V_m = \frac{0,103185 \text{ кг/моль}}{819 \text{ кг/м}^3} \approx 1,26 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3/\text{моль} \] Толщина монослоя \(\delta\) связана с адсорбцией \(\Gamma\) и молярным объемом \(V_m\): \[ \delta = \Gamma \cdot V_m \] \[ \delta = 4,22 \cdot 10^{-6} \text{ моль/м}^2 \cdot 1,26 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3/\text{моль} \] \[ \delta \approx 5,32 \cdot 10^{-10} \text{ м} \] Толщину часто выражают в нанометрах (нм) или ангстремах (Å). \(1 \text{ м} = 10^9 \text{ нм} = 10^{10} \text{ Å}\). \[ \delta = 5,32 \cdot 10^{-10} \cdot 10^9 \text{ нм} = 0,532 \text{ нм} \] \[ \delta = 5,32 \cdot 10^{-10} \cdot 10^{10} \text{ Å} = 5,32 \text{ Å} \] --- Выводы: * Площадь, занимаемая одной молекулой гексанола на поверхности водного раствора при 20 °C, составляет примерно \(39,3 \text{ Å}^2\). * Толщина адсорбционного монослоя гексанола составляет примерно \(0,532 \text{ нм}\) или \(5,32 \text{ Å}\). --- График: (Вам нужно будет начертить этот график в тетради. Используйте миллиметровую бумагу для точности.) Заголовок: Зависимость поверхностного натяжения водного раствора гексанола от логарифма концентрации при 20 °C. Ось X: \(\ln c\) (безразмерная величина) Масштаб по оси X: например, 1 см = 0,5 единицы \(\ln c\). От -2,5 до 2,5. Ось Y: \(\sigma \cdot 10^3\), Дж/м\(^2\) (или мДж/м\(^2\)) Масштаб по оси Y: например, 1 см = 2 мДж/м\(^2\). От 50 до 75. Точки для построения: 1. (\(-2,30\), \(70,00\)) 2. (\(-0,46\), \(69,40\)) 3. (\(0,23\), \(67,80\)) 4. (\(0,92\), \(64,40\)) 5. (\(1,38\), \(60,50\)) 6. (\(1,84\), \(55,40\)) 7. (\(2,30\), \(50,20\)) Начертите плавную кривую через эти точки. Затем проведите прямую линию (касательную) через последние точки, где кривая становится наиболее крутой и приближается к линейной зависимости. Например, можно провести прямую через точки (0,92; 64,40) и (2,30; 50,20). По этой прямой линии определите тангенс угла наклона \(\frac{\Delta\sigma}{\Delta\ln c}\). Для этого выберите две точки на этой прямой (лучше те, которые вы использовали для расчета, или любые две удобные точки на проведенной прямой) и рассчитайте отношение изменения \(\sigma\) к изменению \(\ln c\). Примерный вид графика (схематично): ``` ^ sigma (мДж/м^2) | 75 + | 70 + o | o 65 + o | \ 60 + \ o | \ 55 + \ o | \ 50 +--------------------\-----> ln c -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 ``` На графике стрелкой или пунктирной линией покажите, как вы определяли наклон \(\frac{\Delta\sigma}{\Delta\ln c}\) на линейном участке. ---