Решение 1 Варианта Задач по Геометрии

Решение задач 1 варианта. Задача 1. Дано: Треугольник равнобедренный. Боковая сторона \( a = 1 \) м. Угол при вершине \( \alpha = 45^\circ \). Найти: \( S \) (площадь). Решение: Площадь треугольника через две стороны и угол между ними вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \] Так как треугольник равнобедренный, то боковые стороны равны: \( a = b = 1 \) м. \[ S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(45^\circ) \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} \text{ м}^2 \] Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{4} \text{ м}^2 \). Задача 2. Дано: Параллелограмм. \( S = 25\sqrt{3} \text{ см}^2 \). \( \alpha = 60^\circ \). Одна сторона \( a = 10 \) см. Найти: \( P \) (периметр). Решение: 1) Площадь параллелограмма: \( S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \). Подставим известные значения: \[ 25\sqrt{3} = 10 \cdot b \cdot \sin(60^\circ) \] \[ 25\sqrt{3} = 10 \cdot b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ 25\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \cdot b \] \[ b = \frac{25\sqrt{3}}{5\sqrt{3}} = 5 \text{ см} \] 2) Периметр параллелограмма: \[ P = 2 \cdot (a + b) \] \[ P = 2 \cdot (10 + 5) = 2 \cdot 15 = 30 \text{ см} \] Ответ: 30 см. Задача 3. Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный. Основание \( AB = \sqrt{2} \). Угол при основании \( \angle A = \angle B = 30^\circ \). \( AD \) — биссектриса. Найти: \( AD \). Решение: 1) Найдем угол \( \angle C \): \[ \angle C = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ \] 2) Так как \( AD \) — биссектриса угла \( A \), то: \[ \angle DAB = \angle DAC = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ \] 3) Рассмотрим \( \triangle ABD \). В нем: \( \angle DAB = 15^\circ \), \( \angle B = 30^\circ \). Найдем третий угол \( \angle ADB \): \[ \angle ADB = 180^\circ - (15^\circ + 30^\circ) = 135^\circ \] 4) По теореме синусов для \( \triangle ABD \): \[ \frac{AD}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} \] \[ \frac{AD}{\sin(30^\circ)} = \frac{\sqrt{2}}{\sin(135^\circ)} \] Учитывая, что \( \sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ \frac{AD}{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} \] \[ 2 \cdot AD = 2 \] \[ AD = 1 \] Ответ: 1.