Решение: Реши 1 вариант полностью и начерти вектора

Контрольная работа по теме «Векторы» Вариант 1 Задача 1. Для выполнения этого задания в тетради начертите три произвольных вектора \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\), направленных в разные стороны (не параллельных друг другу). а) Построение вектора \(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}\): 1. Отложите вектор, длина которого в 3 раза меньше вектора \(\vec{a}\) и сонаправлен с ним. Это будет \(\frac{1}{3}\vec{a}\). 2. От конца этого вектора отложите вектор, длина которого в 2 раза меньше вектора \(\vec{c}\). Это будет \(\frac{1}{2}\vec{c}\). 3. Соедините начало первого вектора с концом второго. Полученный вектор и есть искомая сумма по правилу треугольника. б) Построение вектора \(-\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + 0,5\vec{c}\): 1. Отложите вектор \(-\vec{a}\) (равен по длине \(\vec{a}\), но направлен в противоположную сторону). 2. От его конца отложите вектор \(\frac{2}{3}\vec{b}\). 3. От конца второго вектора отложите вектор \(0,5\vec{c}\) (половина вектора \(\vec{c}\)). 4. Соедините начало цепочки с концом последнего вектора (правило многоугольника). Задача 2. Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(\vec{AB} = \vec{a}\), \(\vec{AD} = \vec{b}\). Точка \(K\) на \(BC\), \(BK = KC\). Точка \(E\) на \(CD\), \(CE : ED = 2 : 3\). Выразить: \(\vec{AK}\), \(\vec{AE}\), \(\vec{KE}\). Решение: 1) Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \(\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}\) и \(\vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{a}\). 2) Точка \(K\) — середина \(BC\), значит \(\vec{BK} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{b}\). По правилу треугольника: \[\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\] 3) Точка \(E\) делит \(CD\) в отношении \(2:3\). Значит, отрезок \(CE\) составляет \(\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}\) от всего отрезка \(CD\). Вектор \(\vec{CE} = \frac{2}{5}\vec{CD} = \frac{2}{5}(-\vec{a}) = -0,4\vec{a}\). Заметим, что \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}\) (по правилу параллелограмма). Тогда: \[\vec{AE} = \vec{AC} + \vec{CE} = (\vec{a} + \vec{b}) - 0,4\vec{a} = 0,6\vec{a} + \vec{b}\] 4) Найдем вектор \(\vec{KE}\) по правилу вычитания векторов (или через ломаную): \[\vec{KE} = \vec{AE} - \vec{AK} = (0,6\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} + 0,5\vec{b}) = 0,6\vec{a} + \vec{b} - \vec{a} - 0,5\vec{b} = -0,4\vec{a} + 0,5\vec{b}\] Ответ: \(\vec{AK} = \vec{a} + 0,5\vec{b}\); \(\vec{AE} = 0,6\vec{a} + \vec{b}\); \(\vec{KE} = -0,4\vec{a} + 0,5\vec{b}\). Задача 3. Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция (\(AB=CD\)), \(BH\) — высота. Высота делит большее основание \(AD\) на отрезки \(AH = 5\) см и \(HD = 12\) см. Найти: \(m\) (среднюю линию). Решение: 1) Большее основание \(AD = AH + HD = 5 + 12 = 17\) см. 2) В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший — полусумме оснований. 3) Формула средней линии трапеции: \[m = \frac{BC + AD}{2}\] Из свойств равнобедренной трапеции известно, что отрезок \(HD\) (от проекции вершины до противоположного угла основания) как раз равен полусумме оснований: \[HD = \frac{BC + AD}{2}\] Следовательно, средняя линия \(m = HD = 12\) см. Ответ: 12 см.