Решение задач 1, 3, 6, 8, 9: Уравнение окружности. Вариант 2

Самостоятельная работа 3.3. Уравнение окружности. Вариант 2. Задание 1. Уравнение окружности имеет вид: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\), где \((a; b)\) — координаты центра. Дано уравнение: \((x + 7)^2 + (y - 3)^2 = 4\). Перепишем его в стандартном виде: \((x - (-7))^2 + (y - 3)^2 = 2^2\). Следовательно, центр окружности находится в точке \((-7; 3)\). Ответ: б) \((-7; 3)\). Задание 3. Даны точки \(A(3; 5)\) и \(B(-1; 2)\). Длина отрезка \(AB\) вычисляется по формуле: \[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\] Подставим координаты: \[AB = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\] Ответ: 5. Задание 6. 1) Дана окружность \((x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 9\). Ее центр — точка \(O_1(4; -2)\), а радиус \(R_1 = \sqrt{9} = 3\). 2) Центр новой окружности \(O_2\) симметричен точке \(O_1\) относительно начала координат \((0; 0)\). При такой симметрии знаки координат меняются на противоположные: \(O_2(-4; 2)\). 3) Радиус новой окружности \(R_2\) в три раза меньше \(R_1\): \[R_2 = \frac{R_1}{3} = \frac{3}{3} = 1\] 4) Запишем уравнение новой окружности с центром \((-4; 2)\) и радиусом \(1\): \[(x - (-4))^2 + (y - 2)^2 = 1^2\] \[(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 1\] Ответ: \((x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 1\). Задание 8. Центр окружности — точка \(A(-2; 0)\). Отрезок \(AB\) является радиусом. Найдем его длину, используя координаты \(A(-2; 0)\) и \(B(0; 5)\): \[R = AB = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}\] Уравнение окружности с центром \((a; b)\) и радиусом \(R\): \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\). Подставляем значения: \[(x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = (\sqrt{29})^2\] \[(x + 2)^2 + y^2 = 29\] Ответ: \((x + 2)^2 + y^2 = 29\). Задание 9. Система уравнений: \[\begin{cases} x^2 + (y + 1)^2 = 49 \\ xy = -6 \end{cases}\] Первое уравнение описывает окружность с центром \((0; -1)\) и радиусом \(R = 7\). Второе уравнение \(y = -\frac{6}{x}\) описывает гиперболу, ветви которой лежат во второй и четвертой четвертях. Окружность пересекает оси координат в точках: по оси \(x\) при \(y=0\): \(x^2 + 1 = 49 \Rightarrow x = \pm \sqrt{48} \approx \pm 6.9\). По оси \(y\) при \(x=0\): \((y+1)^2 = 49 \Rightarrow y+1 = \pm 7 \Rightarrow y=6\) и \(y=-8\). Гипербола \(y = -6/x\) проходит через точки, близкие к границам окружности (например, \((1; -6)\), \((6; -1)\), \((-1; 6)\), \((-6; 1)\)). Так как ветви гиперболы уходят в бесконечность вдоль осей, а окружность достаточно велика и охватывает начало координат, каждая ветвь гиперболы пересечет окружность в двух точках. Итого: 2 точки пересечения с одной ветвью и 2 точки с другой. Ответ: 4 решения.