Решение: Расчет на прочность балки при изгибе

Задача: Расчет на прочность балки при изгибе. Дано: Балка с двумя опорами. Нагрузки: 1. Сосредоточенная сила \(F = 40 \, \text{кН}\) на расстоянии \(a = 4 \, \text{м}\) от левой опоры. 2. Равномерно распределенная нагрузка \(q = 10 \, \text{кН/м}\) на участке длиной \(b = 16 \, \text{м}\), начинающемся на расстоянии \(a = 4 \, \text{м}\) от левой опоры. 3. Расстояние от правой опоры до конца балки \(c = 4 \, \text{м}\). Требуется: Выполнить расчет балки на прочность при изгибе. Для этого необходимо: 1. Определить опорные реакции. 2. Построить эпюры поперечных сил (Q) и изгибающих моментов (M). 3. Определить максимальный изгибающий момент. 4. Выполнить проверку прочности (если заданы параметры сечения и допускаемые напряжения). Решение: 1. Определение опорных реакций. Сначала определим общую длину балки. Длина балки \(L = a + b + c = 4 \, \text{м} + 16 \, \text{м} + 4 \, \text{м} = 24 \, \text{м}\). Левая опора (шарнирно-неподвижная) имеет две реакции: вертикальную \(R_A\) и горизонтальную \(H_A\). Правая опора (шарнирно-подвижная) имеет одну реакцию: вертикальную \(R_B\). Горизонтальные силы отсутствуют, поэтому \(H_A = 0\). Для определения вертикальных опорных реакций используем уравнения равновесия: Сумма моментов относительно точки A равна нулю: \(\sum M_A = 0\). Сумма вертикальных сил равна нулю: \(\sum F_y = 0\). Равномерно распределенная нагрузка \(q\) на участке \(b\) может быть заменена сосредоточенной силой \(Q_{распр} = q \cdot b = 10 \, \text{кН/м} \cdot 16 \, \text{м} = 160 \, \text{кН}\). Эта сосредоточенная сила приложена в центре участка \(b\), то есть на расстоянии \(a + b/2 = 4 \, \text{м} + 16 \, \text{м} / 2 = 4 \, \text{м} + 8 \, \text{м} = 12 \, \text{м}\) от левой опоры. Уравнение моментов относительно точки A: \(R_B \cdot (a+b) - F \cdot a - Q_{распр} \cdot (a + b/2) = 0\) \(R_B \cdot (4+16) - 40 \cdot 4 - 160 \cdot (4 + 16/2) = 0\) \(R_B \cdot 20 - 160 - 160 \cdot 12 = 0\) \(R_B \cdot 20 - 160 - 1920 = 0\) \(R_B \cdot 20 = 2080\) \(R_B = 2080 / 20 = 104 \, \text{кН}\) Уравнение суммы вертикальных сил: \(R_A + R_B - F - Q_{распр} = 0\) \(R_A + 104 - 40 - 160 = 0\) \(R_A + 104 - 200 = 0\) \(R_A - 96 = 0\) \(R_A = 96 \, \text{кН}\) Проверка: Сумма моментов относительно точки B равна нулю: \(\sum M_B = R_A \cdot (a+b) - F \cdot b - Q_{распр} \cdot (b/2) = 0\) \(96 \cdot 20 - 40 \cdot 16 - 160 \cdot 8 = 0\) \(1920 - 640 - 1280 = 0\) \(1920 - 1920 = 0\) Проверка сошлась, опорные реакции определены верно. 2. Построение эпюр поперечных сил (Q) и изгибающих моментов (M). Разделим балку на участки: Участок I: \(0 \le x < a\) (от левой опоры до силы F) Участок II: \(a \le x < a+b\) (от силы F до правой опоры) Участок III: \(a+b \le x \le a+b+c\) (от правой опоры до конца балки) Эпюра поперечных сил Q(x): Участок I (\(0 \le x < 4 \, \text{м}\)): \(Q(x) = R_A = 96 \, \text{кН}\) Участок II (\(4 \, \text{м} \le x < 20 \, \text{м}\)): \(Q(x) = R_A - F - q \cdot (x - a)\) \(Q(x) = 96 - 40 - 10 \cdot (x - 4)\) \(Q(x) = 56 - 10x + 40\) \(Q(x) = 96 - 10x\) Начало участка II (при \(x = 4 \, \text{м}\)): \(Q(4) = 96 - 10 \cdot 4 = 96 - 40 = 56 \, \text{кН}\) (скачок из-за силы F) Конец участка II (при \(x = 20 \, \text{м}\)): \(Q(20) = 96 - 10 \cdot 20 = 96 - 200 = -104 \, \text{кН}\) Участок III (\(20 \, \text{м} \le x \le 24 \, \text{м}\)): \(Q(x) = R_A - F - q \cdot b + R_B\) \(Q(x) = 96 - 40 - 10 \cdot 16 + 104\) \(Q(x) = 96 - 40 - 160 + 104\) \(Q(x) = 56 - 160 + 104\) \(Q(x) = -104 + 104 = 0 \, \text{кН}\) Эпюра изгибающих моментов M(x): Участок I (\(0 \le x < 4 \, \text{м}\)): \(M(x) = R_A \cdot x = 96x\) При \(x = 0\), \(M(0) = 0\) При \(x = 4\), \(M(4) = 96 \cdot 4 = 384 \, \text{кН} \cdot \text{м}\) Участок II (\(4 \, \text{м} \le x < 20 \, \text{м}\)): \(M(x) = R_A \cdot x - F \cdot (x - a) - q \cdot (x - a)^2 / 2\) \(M(x) = 96x - 40 \cdot (x - 4) - 10 \cdot (x - 4)^2 / 2\) \(M(x) = 96x - 40x + 160 - 5 \cdot (x^2 - 8x + 16)\) \(M(x) = 56x + 160 - 5x^2 + 40x - 80\) \(M(x) = -5x^2 + 96x + 80\) При \(x = 4 \, \text{м}\): \(M(4) = -5 \cdot 4^2 + 96 \cdot 4 + 80 = -5 \cdot 16 + 384 + 80 = -80 + 384 + 80 = 384 \, \text{кН} \cdot \text{м}\) (совпадает с концом участка I) При \(x = 20 \, \text{м}\): \(M(20) = -5 \cdot 20^2 + 96 \cdot 20 + 80 = -5 \cdot 400 + 1920 + 80 = -2000 + 1920 + 80 = 0 \, \text{кН} \cdot \text{м}\) (момент в опоре B равен нулю) Максимальный изгибающий момент на участке II будет там, где поперечная сила \(Q(x) = 0\). \(Q(x) = 96 - 10x = 0\) \(10x = 96\) \(x = 9.6 \, \text{м}\) Максимальный момент на участке II (при \(x = 9.6 \, \text{м}\)): \(M_{max} = -5 \cdot (9.6)^2 + 96 \cdot 9.6 + 80\) \(M_{max} = -5 \cdot 92.16 + 921.6 + 80\) \(M_{max} = -460.8 + 921.6 + 80 = 540.8 \, \text{кН} \cdot \text{м}\) Участок III (\(20 \, \text{м} \le x \le 24 \, \text{м}\)): На этом участке нет внешних сил, и поперечная сила равна нулю. Следовательно, изгибающий момент постоянен и равен моменту в точке B, то есть нулю. \(M(x) = 0\) 3. Определение максимального изгибающего момента. Из эпюры изгибающих моментов видно, что максимальный положительный изгибающий момент составляет \(M_{max} = 540.8 \, \text{кН} \cdot \text{м}\) и достигается на расстоянии \(x = 9.6 \, \text{м}\) от левой опоры. 4. Проверка прочности. Для проверки прочности необходимо знать материал балки, форму ее поперечного сечения и допускаемые напряжения. Общее условие прочности при изгибе: \[ \sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W_x} \le [\sigma] \] где: \(\sigma_{max}\) - максимальное нормальное напряжение в балке, \(M_{max}\) - максимальный изгибающий момент, \(W_x\) - момент сопротивления поперечного сечения балки, \([\sigma]\) - допускаемое нормальное напряжение для материала балки. Если, например, балка имеет прямоугольное сечение шириной \(b_с\) и высотой \(h_с\), то момент сопротивления: \[ W_x = \frac{b_с h_с^2}{6} \] Если балка имеет круглое сечение диаметром \(D\), то момент сопротивления: \[ W_x = \frac{\pi D^3}{32} \] Без этих данных проверку прочности выполнить невозможно. Выводы: 1. Опорные реакции: \(R_A = 96 \, \text{кН}\), \(R_B = 104 \, \text{кН}\). 2. Максимальный изгибающий момент: \(M_{max} = 540.8 \, \text{кН} \cdot \text{м}\) на расстоянии \(x = 9.6 \, \text{м}\) от левой опоры. 3. Для завершения расчета на прочность необходимо знать геометрические характеристики поперечного сечения балки и допускаемые напряжения материала.