Решение задачи: Декартовы координаты на плоскости, 9 класс, вариант 2

Решение контрольной работы по теме Декартовы координаты на плоскости (9 класс). Вариант 2 Задача 1. Четырехугольник MNKP задан координатами своих вершин M(-6; 1), N(2; 5), K(4; -1), P(-4; -5). Докажите, что MNKP — параллелограмм. Найдите его диагонали. Решение: 1. Чтобы доказать, что MNKP — параллелограмм, проверим, совпадают ли середины его диагоналей MK и NP. Координаты середины отрезка: \[ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}, y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2} \] Для диагонали MK: \[ x_{MK} = \frac{-6 + 4}{2} = -1; y_{MK} = \frac{1 + (-1)}{2} = 0 \] Середина MK: O(-1; 0). Для диагонали NP: \[ x_{NP} = \frac{2 + (-4)}{2} = -1; y_{NP} = \frac{5 + (-5)}{2} = 0 \] Середина NP: O(-1; 0). Так как середины диагоналей совпадают, то MNKP — параллелограмм. 2. Найдем длины диагоналей по формуле: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Диагональ MK: \[ MK = \sqrt{(4 - (-6))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{10^2 + (-2)^2} = \sqrt{100 + 4} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} \] Диагональ NP: \[ NP = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (-5 - 5)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-10)^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34} \] Ответ: MK = \( 2\sqrt{26} \), NP = \( 2\sqrt{34} \). Задача 2. В треугольнике ABC угол A = 45 градусов, высота BO делит сторону AC на отрезки AO = 4 и CO = 8. Найдите длину медианы, проведенной из вершины C. Решение: 1. Введем систему координат. Пусть O — начало координат (0; 0). Так как BO — высота, точка B лежит на оси Oy. 2. В треугольнике ABO (прямоугольный): угол A = 45 градусов, значит он равнобедренный (BO = AO = 4). Точка B(0; 4). 3. Точка A лежит на оси Ox слева от O: A(-4; 0). Точка C лежит на оси Ox справа от O: C(8; 0). 4. Найдем координаты середины стороны AB (точка M): \[ x_M = \frac{-4 + 0}{2} = -2; y_M = \frac{0 + 4}{2} = 2 \] M(-2; 2). 5. Найдем длину медианы CM: \[ CM = \sqrt{(-2 - 8)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-10)^2 + 2^2} = \sqrt{100 + 4} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} \] Ответ: \( 2\sqrt{26} \). Задача 3. Окружность проходит через точки P(8; -4) и T(-2; 6), причем PT — диаметр этой окружности. Напишите уравнение этой окружности. Решение: 1. Центр окружности C(x; y) — середина диаметра PT: \[ x_C = \frac{8 + (-2)}{2} = 3; y_C = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \] C(3; 1). 2. Найдем квадрат радиуса \( R^2 \) (расстояние от C до T): \[ R^2 = (-2 - 3)^2 + (6 - 1)^2 = (-5)^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 \] 3. Уравнение окружности: \[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 50 \] Ответ: \( (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 50 \). Задача 4. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки M(3; 5) и N(-6; -1). Решение: Используем формулу прямой через две точки: \[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \] \[ \frac{x - 3}{-6 - 3} = \frac{y - 5}{-1 - 5} \] \[ \frac{x - 3}{-9} = \frac{y - 5}{-6} \] Умножим на -18 (общий знаменатель): \[ 2(x - 3) = 3(y - 5) \] \[ 2x - 6 = 3y - 15 \] \[ 3y = 2x + 9 \] \[ y = \frac{2}{3}x + 3 \] Ответ: \( y = \frac{2}{3}x + 3 \).