Решение системы уравнений: Вариант 1

Вариант 1 Задание 1. Является ли пара чисел \(x = 6\), \(y = -8\) решением системы: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ 3x + 2y - 2 = 0 \end{cases} \] Подставим значения в каждое уравнение: 1) \(6^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100\). Верно (\(100 = 100\)). 2) \(3 \cdot 6 + 2 \cdot (-8) - 2 = 18 - 16 - 2 = 0\). Верно (\(0 = 0\)). Ответ: Да, является. Задание 2. а) Решите систему: \[ \begin{cases} x^2 + 2y = 6 \\ y = x - 1 \end{cases} \] Подставим второе уравнение в первое: \(x^2 + 2(x - 1) = 6\) \(x^2 + 2x - 2 - 6 = 0\) \(x^2 + 2x - 8 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 = -4\), \(x_2 = 2\). Найдем \(y\): Если \(x_1 = -4\), то \(y_1 = -4 - 1 = -5\). Если \(x_2 = 2\), то \(y_2 = 2 - 1 = 1\). Ответ: \((-4; -5)\), \((2; 1)\). б) Решите систему: \[ \begin{cases} x^2 - y^2 = 24 \\ x - 2y = 7 \end{cases} \] Выразим \(x\) из второго уравнения: \(x = 2y + 7\). Подставим в первое: \((2y + 7)^2 - y^2 = 24\) \(4y^2 + 28y + 49 - y^2 - 24 = 0\) \(3y^2 + 28y + 25 = 0\) \(D = 28^2 - 4 \cdot 3 \cdot 25 = 784 - 300 = 484 = 22^2\) \(y_1 = \frac{-28 + 22}{6} = -1\) \(y_2 = \frac{-28 - 22}{6} = -\frac{50}{6} = -8\frac{1}{3}\) Найдем \(x\): \(x_1 = 2 \cdot (-1) + 7 = 5\) \(x_2 = 2 \cdot (-\frac{25}{3}) + 7 = -\frac{50}{3} + \frac{21}{3} = -\frac{29}{3} = -9\frac{2}{3}\) Ответ: \((5; -1)\), \((-9\frac{2}{3}; -8\frac{1}{3})\). Вариант 2 Задание 1. Является ли пара чисел \(x = 7\), \(y = -6\) решением системы: \[ \begin{cases} xy + 42 = 0 \\ x^2 - 2y - 61 = 0 \end{cases} \] Подставим значения: 1) \(7 \cdot (-6) + 42 = -42 + 42 = 0\). Верно. 2) \(7^2 - 2 \cdot (-6) - 61 = 49 + 12 - 61 = 61 - 61 = 0\). Верно. Ответ: Да, является. Задание 2. а) Решите систему: \[ \begin{cases} xy + x^2 = 4 \\ y = x + 2 \end{cases} \] Подставим \(y\) в первое уравнение: \(x(x + 2) + x^2 = 4\) \(x^2 + 2x + x^2 - 4 = 0\) \(2x^2 + 2x - 4 = 0\) \(x^2 + x - 2 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\). Найдем \(y\): Если \(x_1 = -2\), то \(y_1 = -2 + 2 = 0\). Если \(x_2 = 1\), то \(y_2 = 1 + 2 = 3\). Ответ: \((-2; 0)\), \((1; 3)\). б) Решите систему: \[ \begin{cases} 4y + x = 0 \\ x^2 + y^2 = 17 \end{cases} \] Выразим \(x = -4y\). Подставим во второе уравнение: \((-4y)^2 + y^2 = 17\) \(16y^2 + y^2 = 17\) \(17y^2 = 17\) \(y^2 = 1\) \(y_1 = 1\), \(y_2 = -1\). Найдем \(x\): Если \(y_1 = 1\), то \(x_1 = -4 \cdot 1 = -4\). Если \(y_2 = -1\), то \(x_2 = -4 \cdot (-1) = 4\). Ответ: \((-4; 1)\), \((4; -1)\).