Решение задачи (Вариант 2)

Вариант 2 Часть 1. Ответы на вопросы 1. Серией испытаний Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны только два исхода: «успех» или «неудача», при этом вероятность успеха в каждом испытании остается неизменной. 2. Числом сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) называется количество способов выбрать \(k\) объектов из \(n\) имеющихся без учета порядка их следования. Рассчитывается по формуле: \[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\] 3. Количество элементарных исходов, благоприятствующих \(k\) успехам в серии из \(n\) испытаний, равно числу сочетаний из \(n\) по \(k\), то есть \(C_n^k\). 4. В испытаниях Бернулли могут быть только два исхода: «успех» (событие произошло) и «неудача» (событие не произошло). 5. Вероятность успеха обычно обозначается буквой \(p\), а вероятность неудачи — буквой \(q\). Они связаны соотношением \(q = 1 - p\). Значения вероятностей могут находиться в диапазоне от 0 до 1 включительно: \(0 \le p \le 1\) и \(0 \le q \le 1\). Часть 2. Решение задач Задача 1. а) Дерево эксперимента представляет собой ветвление на каждом шаге: «5» (успех) и «не 5» (неудача). Событие А (выпало с третьей попытки) соответствует пути: «не 5» -> «не 5» -> «5». б) Вероятность выпадения пятерки \(p = \frac{1}{6}\), вероятность невыпадения \(q = \frac{5}{6}\). Вероятность события А: \[P(A) = q \cdot q \cdot p = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216} \approx 0,116\] Задача 2. Вероятность успеха \(p = 0,3\), неудачи \(q = 0,7\). Событие «не позже 4-й попытки» проще найти через противоположное событие «СМС не отправлено за 4 попытки». Вероятность неудачи 4 раза подряд: \[P(\text{неудача}) = q^4 = 0,7^4 = 0,2401\] Искомая вероятность: \[P = 1 - 0,2401 = 0,7599\] Задача 3. Вероятность попадания \(p = 0,8\), промаха \(q = 0,2\). Всего \(n = 4\) выстрела. а) Только вторую мишень: это значит (промах, попал, промах, промах). \[P = q \cdot p \cdot q \cdot q = 0,2 \cdot 0,8 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,0064\] б) Ровно одну мишень: используем формулу Бернулли для \(k = 1\). \[P_4(1) = C_4^1 \cdot p^1 \cdot q^3 = 4 \cdot 0,8 \cdot 0,2^3 = 4 \cdot 0,8 \cdot 0,008 = 0,0256\] Задача 4. а) Обозначим Р — решка, О — орел. Исходы с тремя решками подряд: (Р, Р, Р, О, О), (Р, Р, Р, О, Р), (Р, Р, Р, Р, О), (Р, Р, Р, Р, Р), (О, Р, Р, Р, О), (О, Р, Р, Р, Р), (О, О, Р, Р, Р), (Р, О, Р, Р, Р). Примечание: если строго ровно три решки подряд и не более, то: (Р, Р, Р, О, О), (Р, Р, Р, О, Р), (О, Р, Р, Р, О), (О, О, Р, Р, Р), (Р, О, Р, Р, Р). б) Вероятность «решка выпала ровно два раза». \(n = 5, k = 2, p = 0,5, q = 0,5\). \[P_5(2) = C_5^2 \cdot (0,5)^2 \cdot (0,5)^3 = \frac{5!}{2!3!} \cdot (0,5)^5 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = 0,3125\]