Решение задачи С-8: Площадь треугольника ABD

Задача С-8 Дано: \( \triangle ABC \), \( AB = 3 \), \( BC = 4 \). \( BD \) — биссектриса угла \( \angle B \). \( \angle ABD = \alpha \). Найти: \( S_{ABD} \). Решение: 1. Так как \( BD \) — биссектриса угла \( ABC \), то по определению биссектрисы она делит угол пополам. Следовательно: \[ \angle ABD = \angle CBD = \alpha \] Тогда весь угол \( \angle ABC \) равен: \[ \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = \alpha + \alpha = 2\alpha \] 2. Длину биссектрисы \( BD \) (обозначим её \( l \)) можно найти через стороны треугольника и прилежащие к ней углы. Однако проще воспользоваться формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними. Площадь всего треугольника \( ABC \) равна сумме площадей треугольников \( ABD \) и \( CBD \): \[ S_{ABC} = S_{ABD} + S_{CBD} \] 3. Запишем формулы площадей для каждого треугольника: \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin(\alpha) \] \[ S_{CBD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin(\alpha) \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(2\alpha) \] 4. Подставим выражения в равенство \( S_{ABC} = S_{ABD} + S_{CBD} \): \[ \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin(2\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot BD \cdot \sin(\alpha) + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot BD \cdot \sin(\alpha) \] Упростим уравнение: \[ 6 \cdot \sin(2\alpha) = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot \sin(\alpha) \cdot (3 + 4) \] \[ 6 \cdot 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{7}{2} \cdot BD \cdot \sin(\alpha) \] Разделим обе части на \( \sin(\alpha) \) (так как \( \alpha \neq 0 \)): \[ 12\cos(\alpha) = \frac{7}{2} \cdot BD \] Отсюда выразим длину биссектрисы \( BD \): \[ BD = \frac{24\cos(\alpha)}{7} \] 5. Теперь найдем искомую площадь треугольника \( ABD \): \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin(\alpha) \] \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{24\cos(\alpha)}{7} \cdot \sin(\alpha) \] \[ S_{ABD} = \frac{36}{7} \cdot \sin(\alpha)\cos(\alpha) \] Используя формулу синуса двойного угла \( \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) \), получаем: \[ S_{ABD} = \frac{36}{7} \cdot \frac{1}{2}\sin(2\alpha) = \frac{18\sin(2\alpha)}{7} \] Ответ: \( \frac{18\sin(2\alpha)}{7} \) или \( \frac{36\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{7} \).