Решение задачи: Вариант 2

Вариант 2 Задача 1 Дано: \( \triangle BCE \), плоскость \( \alpha \parallel CE \). \( \alpha \cap BE = E_1 \), \( \alpha \cap BC = C_1 \). \( BC = 28 \) см, \( C_1E_1 : CE = 3 : 8 \). Найти: \( BC_1 \). Решение: 1. Рассмотрим плоскость треугольника \( BCE \). Так как плоскость \( \alpha \) параллельна прямой \( CE \), то линия пересечения этих плоскостей \( C_1E_1 \) параллельна \( CE \) (по свойству параллельности прямой и плоскости). 2. Рассмотрим \( \triangle BC_1E_1 \) и \( \triangle BCE \). У них угол \( B \) — общий, \( \angle BC_1E_1 = \angle BCE \) как соответственные при \( C_1E_1 \parallel CE \) и секущей \( BC \). Следовательно, \( \triangle BC_1E_1 \sim \triangle BCE \) по двум углам. 3. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[ \frac{C_1E_1}{CE} = \frac{BC_1}{BC} \] 4. Подставим известные значения: \[ \frac{3}{8} = \frac{BC_1}{28} \] \[ BC_1 = \frac{3 \cdot 28}{8} = \frac{3 \cdot 7}{2} = 10,5 \text{ (см)} \] Ответ: \( 10,5 \) см. Задача 2 Дано: \( \triangle ABC \), \( D \in AB \), \( E \in AC \). \( DE = 6 \) см, \( BD : DA = 2 : 3 \). Плоскость \( \alpha \) проходит через \( B \) и \( C \), \( \alpha \parallel DE \). Найти: \( BC \). Решение: 1. Так как отрезок \( DE \) параллелен плоскости \( \alpha \), а плоскость \( ABC \) проходит через \( DE \) и пересекает \( \alpha \) по прямой \( BC \), то \( DE \parallel BC \). 2. Рассмотрим \( \triangle ADE \) и \( \triangle ABC \). Так как \( DE \parallel BC \), то \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) по двум углам. 3. Найдем отношение сторон. Нам дано \( BD : DA = 2 : 3 \). Пусть \( BD = 2x \), \( DA = 3x \). Тогда вся сторона \( AB = AD + DB = 3x + 2x = 5x \). 4. Коэффициент подобия: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5} \] 5. Из подобия треугольников: \[ \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} \Rightarrow \frac{6}{BC} = \frac{3}{5} \] \[ BC = \frac{6 \cdot 5}{3} = 10 \text{ (см)} \] Ответ: \( 10 \) см. Задача 3 Дано: \( AB \subset \alpha \). \( P \) — середина \( AC \). Плоскость \( \beta \parallel \alpha \), \( P \in \beta \). \( \beta \cap BC = E \), \( PE = 7 \) см. Найти: \( AB \). Решение: 1. Плоскость \( ABC \) пересекает параллельные плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) по параллельным прямым. Значит, \( PE \parallel AB \). 2. В треугольнике \( ABC \) точка \( P \) является серединой стороны \( AC \) по условию. Так как \( PE \parallel AB \), то по теореме Фалеса (или как следствие подобия) точка \( E \) является серединой стороны \( BC \). 3. Следовательно, \( PE \) — средняя линия треугольника \( ABC \). 4. По свойству средней линии треугольника: \[ PE = \frac{1}{2} AB \Rightarrow AB = 2 \cdot PE \] \[ AB = 2 \cdot 7 = 14 \text{ (см)} \] Ответ: \( 14 \) см. Задача 4 Дано: Три прямые пересекаются в точке \( A \). Плоскости \( \alpha \parallel \beta \). Точки пересечения: \( M_1, N_1, K_1 \in \alpha \) и \( M_2, N_2, K_2 \in \beta \). \( AM_2 = 2 AM_1 \), \( S_{M_2N_2K_2} = 10 \text{ см}^2 \). Найти: \( S_{M_1N_1K_1} \). Решение: 1. Так как плоскости параллельны, то треугольники \( M_1N_1K_1 \) и \( M_2N_2K_2 \) гомотетичны относительно центра \( A \) (или просто подобны). 2. Коэффициент подобия \( k \) равен отношению соответствующих отрезков: \[ k = \frac{AM_2}{AM_1} = \frac{2 AM_1}{AM_1} = 2 \] 3. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{M_2N_2K_2}}{S_{M_1N_1K_1}} = k^2 \] \[ \frac{10}{S_{M_1N_1K_1}} = 2^2 = 4 \] 4. Вычисляем площадь: \[ S_{M_1N_1K_1} = \frac{10}{4} = 2,5 \text{ (см}^2) \] Ответ: \( 2,5 \text{ см}^2 \).