Решение задач на площадь треугольника

Решение задач на нахождение площади треугольников. Задача 1 (верхний правый рисунок) Дано: Треугольник \(ABC\) — прямоугольный (\(\angle B = 90^\circ\)). Катет \(AB = 5\) см. Гипотенуза \(AC = 7\) см. Найти: \(S_{ABC}\). Решение: 1. По теореме Пифагора найдем катет \(BC\): \[BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{7^2 - 5^2} = \sqrt{49 - 25} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ см.}\] 2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2\sqrt{6} = 5\sqrt{6} \text{ см}^2.\] Ответ: \(5\sqrt{6} \text{ см}^2\). Задача 2 (левый рисунок) Дано: Треугольник \(ABC\). Высота \(BD = 12\) см. Сторона \(AB = 13\) см. Углы при основании \(AC\) равны (\(\angle A = \angle C\)), следовательно, треугольник \(ABC\) — равнобедренный. Найти: \(S_{ABC}\). Решение: 1. Из прямоугольного треугольника \(ABD\) (\(\angle D = 90^\circ\)) по теореме Пифагора найдем \(AD\): \[AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см.}\] 2. Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, высота \(BD\) является медианой, значит \(AD = DC = 5\) см. 3. Основание \(AC = AD + DC = 5 + 5 = 10\) см. 4. Площадь треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2.\] Ответ: \(60 \text{ см}^2\). Задача 3 (нижний правый рисунок) Дано: Треугольник \(ABC\) — прямоугольный (\(\angle B = 90^\circ\)). Гипотенуза \(AC = 6\) см. Внешние углы при вершинах \(A\) и \(C\) равны \(135^\circ\). Найти: \(S_{ABC}\). Решение: 1. Найдем внутренние углы треугольника: \[\angle A = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ.\] \[\angle C = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ.\] Так как углы при основании равны, треугольник \(ABC\) — равнобедренный прямоугольный треугольник (\(AB = BC\)). 2. Пусть \(AB = BC = x\). По теореме Пифагора: \[x^2 + x^2 = 6^2\] \[2x^2 = 36\] \[x^2 = 18\] 3. Площадь прямоугольного треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot x^2 = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9 \text{ см}^2.\] Ответ: \(9 \text{ см}^2\).