Решение задачи: Расстояние от точки до прямой в параллелограмме

Задача №6 Дано: \(ABCD\) — параллелограмм. \(AB = 12\), \(BC = 30\). \(\angle BCD = 30^\circ\). \(MB \perp (ABC)\), \(MB = 8\). Найти: расстояние от точки \(M\) до прямых \(AD\) и \(DC\). Решение: 1) Расстояние от точки \(M\) до прямой \(AD\). Проведем перпендикуляр \(BH\) из точки \(B\) к прямой \(AD\). Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \(AD \parallel BC\), следовательно, \(AD = BC = 30\). В параллелограмме противоположные углы равны: \(\angle BAD = \angle BCD = 30^\circ\). Из прямоугольного треугольника \(ABH\) (\(\angle H = 90^\circ\)): \[BH = AB \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\] По теореме о трех перпендикулярах, так как \(MB \perp (ABC)\) и \(BH \perp AD\), то наклонная \(MH \perp AD\). Значит, \(MH\) — искомое расстояние. Из прямоугольного треугольника \(MBH\) по теореме Пифагора: \[MH = \sqrt{MB^2 + BH^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\] 2) Расстояние от точки \(M\) до прямой \(DC\). Проведем перпендикуляр \(BK\) из точки \(B\) к прямой \(DC\). В параллелограмме сумма соседних углов равна \(180^\circ\), значит \(\angle ABC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\). Рассмотрим треугольник \(BKC\). Угол \(\angle BCK = 30^\circ\) (по условию). Из прямоугольного треугольника \(BKC\) (\(\angle K = 90^\circ\)): \[BK = BC \cdot \sin(30^\circ) = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15\] По теореме о трех перпендикулярах, так как \(MB \perp (ABC)\) и \(BK \perp DC\), то наклонная \(MK \perp DC\). Значит, \(MK\) — искомое расстояние. Из прямоугольного треугольника \(MBK\) по теореме Пифагора: \[MK = \sqrt{MB^2 + BK^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\] Ответ: расстояние до \(AD\) равно 10; расстояние до \(DC\) равно 17.