Решение задачи с параллельными прямыми и углами

Ниже представлено решение задач в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь. Задача №1 Дано: \( a \parallel b \) \( \angle 1 + \angle 2 = 250^\circ \) Найти: \( \angle 3 \) Решение: 1. Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) являются соответственными при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей. По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны: \[ \angle 1 = \angle 2 \] 2. Так как их сумма равна \( 250^\circ \), то: \[ \angle 1 = \angle 2 = 250^\circ : 2 = 125^\circ \] 3. Углы \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) являются смежными. По свойству смежных углов, их сумма равна \( 180^\circ \): \[ \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ \] \[ \angle 3 = 180^\circ - \angle 2 = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \] Ответ: \( 55^\circ \). Задача №2 Дано: \( a \parallel b \) Углы при секущих указаны на рисунке. Найти: \( x \) Решение: 1. Рассмотрим вторую секущую (справа). Угол, вертикальный углу \( 106^\circ \), также равен \( 106^\circ \). 2. Этот вертикальный угол и угол \( x \) являются односторонними при параллельных прямых \( a \), \( b \) и данной секущей. 3. По свойству параллельных прямых, сумма односторонних углов равна \( 180^\circ \): \[ x + 106^\circ = 180^\circ \] \[ x = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ \] (Примечание: данные слева \( 148^\circ \) и \( 32^\circ \) подтверждают параллельность прямых, так как \( 148^\circ + 32^\circ = 180^\circ \)). Ответ: \( 74^\circ \). Задача №3 Дано: \( \angle 1 = 130^\circ \) \( \angle 2 = 72^\circ \) \( \angle 3 = 50^\circ \) Найти: \( \angle 4 \) Решение: 1. Проверим параллельность прямых \( a \) и \( b \). Угол \( \angle 1 \) и угол, смежный с \( \angle 3 \), являются соответственными. Угол, смежный с \( \angle 3 \), равен \( 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \). Так как соответственные углы равны (\( 130^\circ = 130^\circ \)), то прямые \( a \) и \( b \) параллельны. 2. Рассмотрим треугольник, образованный секущими и прямой \( a \). Угол, вертикальный углу \( \angle 2 \), равен \( 72^\circ \). 3. Угол \( \angle 4 \) является внешним углом для этого треугольника или может быть найден через накрест лежащие углы. Угол, накрест лежащий с \( \angle 4 \), находится на прямой \( b \). 4. Проще всего заметить, что \( \angle 4 \) и угол, образованный пересечением двух секущих и прямой \( a \), связаны. Угол при вершине треугольника (где \( \angle 2 \)) равен \( 72^\circ \). Угол при основании (слева от \( \angle 4 \)) равен \( 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \). 5. Тогда \( \angle 4 \) как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: \[ \angle 4 = 72^\circ + 50^\circ = 122^\circ \] Ответ: \( 122^\circ \).