Решение задачи: AC || BM, Найти CM

Вариант 2 Задача 1 Дано: \(AC \parallel BM\), \(AB \cap CM = O\). \(AC = 15\) см, \(BM = 3\) см, \(CO = 10\) см. Найти: \(CM\). Решение: Рассмотрим треугольники \(AOC\) и \(BOM\). 1. \(\angle AOC = \angle BOM\) как вертикальные. 2. \(\angle OAC = \angle OBM\) как накрест лежащие при \(AC \parallel BM\) и секущей \(AB\). Следовательно, \(\triangle AOC \sim \triangle BOM\) по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[ \frac{AC}{BM} = \frac{CO}{OM} \] Подставим известные значения: \[ \frac{15}{3} = \frac{10}{OM} \] \[ 5 = \frac{10}{OM} \implies OM = \frac{10}{5} = 2 \text{ (см)} \] Длина отрезка \(CM\) равна сумме отрезков \(CO\) и \(OM\): \[ CM = CO + OM = 10 + 2 = 12 \text{ (см)} \] Ответ: 12 см. Задача 2 Дано: \(\triangle ABC\), \(K \in AB\), \(P \in AC\). \(KP \parallel BC\). \(AB = 16\) см, \(BC = 8\) см, \(AC = 15\) см, \(AK = 4\) см. Найти: \(P_{AKP}\). Решение: Так как \(KP \parallel BC\), то \(\triangle AKP \sim \triangle ABC\) (по двум углам: \(\angle A\) — общий, \(\angle AKP = \angle ABC\) как соответственные). Найдем коэффициент подобия \(k\): \[ k = \frac{AK}{AB} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \] Периметр треугольника \(ABC\): \[ P_{ABC} = AB + BC + AC = 16 + 8 + 15 = 39 \text{ (см)} \] Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \[ \frac{P_{AKP}}{P_{ABC}} = k \] \[ P_{AKP} = k \cdot P_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 39 = 9,75 \text{ (см)} \] Ответ: 9,75 см. Задача 4 Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\). \(CD \perp AB\). \(AC = 8\) см, \(CB = 6\) см. Найти: \(CD\). Решение: 1. По теореме Пифагора найдем гипотенузу \(AB\): \[ AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ (см)} \] 2. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: \[ S = \frac{1}{2} AC \cdot CB \quad \text{и} \quad S = \frac{1}{2} AB \cdot CD \] Приравняем их: \[ AC \cdot CB = AB \cdot CD \] \[ 8 \cdot 6 = 10 \cdot CD \] \[ 48 = 10 \cdot CD \implies CD = 4,8 \text{ (см)} \] Ответ: 4,8 см. Задача 6 Дано: \(\triangle ABC\), \(AB = BC\). Медианы пересекаются в т. \(O\). \(OA = 15\) см, \(OB = 24\) см. Найти: \(S_{ABC}\). Решение: 1. Пусть \(BM\) — медиана, проведенная к основанию \(AC\). В равнобедренном треугольнике она также является высотой (\(BM \perp AC\)). 2. По свойству медиан точка пересечения \(O\) делит их в отношении \(2:1\), считая от вершины. \[ OB = 24 \implies OM = \frac{1}{2} OB = 12 \text{ (см)} \] Длина всей медианы \(BM = OB + OM = 24 + 12 = 36\) см. 3. Рассмотрим прямоугольный \(\triangle AOM\) (\(\angle M = 90^\circ\)). По теореме Пифагора: \[ AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ (см)} \] Так как \(BM\) — медиана, то \(AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 9 = 18\) см. 4. Площадь треугольника: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 36 = 9 \cdot 36 = 324 \text{ (см}^2) \] Ответ: 324 см\(^2\).