Упражнение 470: Решение уравнений

Решение упражнения 470. Задание: Решить уравнения. 1) \(\frac{10}{x-3} - \frac{8}{x} = 1\) ОДЗ: \(x \neq 3\), \(x \neq 0\). Умножим обе части уравнения на \(x(x-3)\): \[10x - 8(x-3) = x(x-3)\] \[10x - 8x + 24 = x^2 - 3x\] \[2x + 24 = x^2 - 3x\] \[x^2 - 5x - 24 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = 5\] \[x_1 \cdot x_2 = -24\] Корни: \(x_1 = 8\), \(x_2 = -3\). Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: -3; 8. 2) \(\frac{2}{x-5} + \frac{14}{x} = 3\) ОДЗ: \(x \neq 5\), \(x \neq 0\). Умножим на \(x(x-5)\): \[2x + 14(x-5) = 3x(x-5)\] \[2x + 14x - 70 = 3x^2 - 15x\] \[16x - 70 = 3x^2 - 15x\] \[3x^2 - 31x + 70 = 0\] Находим дискриминант: \[D = (-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 70 = 961 - 840 = 121 = 11^2\] \[x = \frac{31 \pm 11}{6}\] \[x_1 = \frac{42}{6} = 7\] \[x_2 = \frac{20}{6} = 3\frac{1}{3}\] Ответ: \(3\frac{1}{3}\); 7. 3) \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{3}{20}\) ОДЗ: \(x \neq 0\), \(x \neq -3\). Умножим на \(20x(x+3)\): \[20(x+3) + 20x = 3x(x+3)\] \[20x + 60 + 20x = 3x^2 + 9x\] \[40x + 60 = 3x^2 + 9x\] \[3x^2 - 31x - 60 = 0\] \[D = (-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-60) = 961 + 720 = 1681 = 41^2\] \[x = \frac{31 \pm 41}{6}\] \[x_1 = \frac{72}{6} = 12\] \[x_2 = \frac{-10}{6} = -1\frac{2}{3}\] Ответ: \(-1\frac{2}{3}\); 12. 4) \(\frac{40}{x-20} - \frac{40}{x} = 1\) ОДЗ: \(x \neq 20\), \(x \neq 0\). Умножим на \(x(x-20)\): \[40x - 40(x-20) = x(x-20)\] \[40x - 40x + 800 = x^2 - 20x\] \[x^2 - 20x - 800 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = 20\] \[x_1 \cdot x_2 = -800\] Корни: \(x_1 = 40\), \(x_2 = -20\). Ответ: -20; 40. 5) \(\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+3} = \frac{5}{8}\) ОДЗ: \(x \neq 3\), \(x \neq -3\). Умножим на \(8(x-3)(x+3)\), то есть на \(8(x^2-9)\): \[8(x+3) + 8(x-3) = 5(x^2-9)\] \[8x + 24 + 8x - 24 = 5x^2 - 45\] \[16x = 5x^2 - 45\] \[5x^2 - 16x - 45 = 0\] \[D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 256 + 900 = 1156 = 34^2\] \[x = \frac{16 \pm 34}{10}\] \[x_1 = \frac{50}{10} = 5\] \[x_2 = \frac{-18}{10} = -1,8\] Ответ: -1,8; 5. 6) \(\frac{4}{x-2} + \frac{4}{x+2} = 1,5\) Запишем \(1,5\) как \(\frac{3}{2}\). ОДЗ: \(x \neq 2\), \(x \neq -2\). Умножим на \(2(x-2)(x+2)\), то есть на \(2(x^2-4)\): \[4 \cdot 2(x+2) + 4 \cdot 2(x-2) = 3(x^2-4)\] \[8x + 16 + 8x - 16 = 3x^2 - 12\] \[16x = 3x^2 - 12\] \[3x^2 - 16x - 12 = 0\] \[D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400 = 20^2\] \[x = \frac{16 \pm 20}{6}\] \[x_1 = \frac{36}{6} = 6\] \[x_2 = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\] Ответ: \(-\frac{2}{3}\); 6.