Решение системы уравнений x^2 - xy + y^2 = 21 и 2xy - y^2 = 15

Решение системы уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 21 \\ 2xy - y^2 = 15 \end{cases} \] Данная система является однородной по своей структуре (все слагаемые с переменными имеют вторую степень). Применим метод сложения, чтобы избавиться от свободных членов и получить однородное уравнение. 1. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 7, чтобы уравнять правые части до 105: \[ \begin{cases} 5x^2 - 5xy + 5y^2 = 105 \\ 14xy - 7y^2 = 105 \end{cases} \] 2. Вычтем из первого уравнения второе: \[ 5x^2 - 5xy + 5y^2 - (14xy - 7y^2) = 0 \] \[ 5x^2 - 19xy + 12y^2 = 0 \] 3. Разделим обе части уравнения на \( y^2 \) (при условии \( y \neq 0 \), так как если \( y = 0 \), то из системы следует \( 0 = 15 \), что невозможно): \[ 5\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 19\left(\frac{x}{y}\right) + 12 = 0 \] Пусть \( \frac{x}{y} = k \), тогда \( x = ky \). Получаем квадратное уравнение: \[ 5k^2 - 19k + 12 = 0 \] \[ D = (-19)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 12 = 361 - 240 = 121 = 11^2 \] \[ k_1 = \frac{19 + 11}{10} = 3; \quad k_2 = \frac{19 - 11}{10} = 0,8 \] 4. Рассмотрим два случая: Случай 1: \( k = 3 \Rightarrow x = 3y \). Подставим во второе уравнение исходной системы: \[ 2(3y)y - y^2 = 15 \] \[ 6y^2 - y^2 = 15 \] \[ 5y^2 = 15 \] \[ y^2 = 3 \] \[ y_1 = \sqrt{3}, \quad x_1 = 3\sqrt{3} \] \[ y_2 = -\sqrt{3}, \quad x_2 = -3\sqrt{3} \] Случай 2: \( k = 0,8 \Rightarrow x = 0,8y \). Подставим во второе уравнение: \[ 2(0,8y)y - y^2 = 15 \] \[ 1,6y^2 - y^2 = 15 \] \[ 0,6y^2 = 15 \] \[ y^2 = \frac{15}{0,6} = 25 \] \[ y_3 = 5, \quad x_3 = 0,8 \cdot 5 = 4 \] \[ y_4 = -5, \quad x_4 = 0,8 \cdot (-5) = -4 \] Ответ: \( (3\sqrt{3}; \sqrt{3}), (-3\sqrt{3}; -\sqrt{3}), (4; 5), (-4; -5) \).