Решение задачи №1: Определение времени движения

Задача №1 Дано: \(M = 3\) кг \(m = 0,5\) кг \(\alpha = 30^{\circ}\) \(F = 21\) Н \(L = 35\) см \(= 0,35\) м \(\mu = 0,3\) \(g = 10\) м/с\(^2\) Найти: \(t\) — ? Решение: 1. Обоснование используемых законов: — Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной. — Тела (брусок и груз) считаем материальными точками, так как они движутся поступательно. — Используем второй закон Ньютона для описания движения каждого тела. — Так как нить невесома и блок идеален (гладкий и невесомый), сила натяжения нити \(T\) одинакова вдоль всей нити. — Так как нить нерастяжима, модули ускорений тел равны: \(a_1 = a_2 = a\). 2. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Для бруска массой \(M\) на горизонтальную ось (направленную влево, по ходу движения): \[F \cdot \cos \alpha - T - F_{тр} = M \cdot a\] На вертикальную ось (направленную вверх): \[N + F \cdot \sin \alpha - M \cdot g = 0 \Rightarrow N = M \cdot g - F \cdot \sin \alpha\] Сила трения скольжения: \[F_{тр} = \mu \cdot N = \mu \cdot (M \cdot g - F \cdot \sin \alpha)\] Для груза массой \(m\) на вертикальную ось (направленную вверх): \[T - m \cdot g = m \cdot a \Rightarrow T = m \cdot (g + a)\] 3. Подставим выражения для \(F_{тр}\) и \(T\) в уравнение движения бруска: \[F \cdot \cos \alpha - m \cdot (g + a) - \mu \cdot (M \cdot g - F \cdot \sin \alpha) = M \cdot a\] Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с ускорением \(a\): \[F \cdot \cos \alpha - m \cdot g - m \cdot a - \mu \cdot M \cdot g + \mu \cdot F \cdot \sin \alpha = M \cdot a\] \[F \cdot (\cos \alpha + \mu \cdot \sin \alpha) - g \cdot (m + \mu \cdot M) = a \cdot (M + m)\] Выразим ускорение: \[a = \frac{F \cdot (\cos \alpha + \mu \cdot \sin \alpha) - g \cdot (m + \mu \cdot M)}{M + m}\] 4. Вычислим значение ускорения: \[a = \frac{21 \cdot (\cos 30^{\circ} + 0,3 \cdot \sin 30^{\circ}) - 10 \cdot (0,5 + 0,3 \cdot 3)}{3 + 0,5}\] \[a = \frac{21 \cdot (0,866 + 0,3 \cdot 0,5) - 10 \cdot (0,5 + 0,9)}{3,5}\] \[a = \frac{21 \cdot 1,016 - 14}{3,5} = \frac{21,336 - 14}{3,5} \approx 2,1 \text{ м/с}^2\] 5. Так как система изначально покоилась, путь \(L\), пройденный грузом при равноускоренном движении, равен: \[L = \frac{a \cdot t^2}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2 \cdot L}{a}}\] Подставим значения: \[t = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,35}{2,1}} = \sqrt{\frac{0,7}{2,1}} = \sqrt{\frac{1}{3}} \approx 0,58 \text{ с}\] Ответ: \(t \approx 0,58\) с.