Решение задачи №15: Найти угол между биссектрисами

Задача №15 Дано: \( \triangle ABC \) — равносторонний. \( AK, BN \) — биссектрисы. \( D \) — точка пересечения биссектрис. Найти: \( \angle KDN \). Решение: 1. Так как \( \triangle ABC \) — равносторонний, все его внутренние углы равны \( 60^\circ \): \[ \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ \] 2. \( AK \) и \( BN \) — биссектрисы углов \( A \) и \( B \). Следовательно, они делят углы пополам: \[ \angle DAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \] \[ \angle DBA = \frac{\angle B}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \] 3. Рассмотрим треугольник \( ABD \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \). Найдем угол \( ADB \): \[ \angle ADB = 180^\circ - (\angle DAB + \angle DBA) \] \[ \angle ADB = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \] 4. Углы \( ADB \) и \( KDN \) являются вертикальными. По свойству вертикальных углов: \[ \angle KDN = \angle ADB = 120^\circ \] Ответ: 120.