Решение уравнений: (x+2)^4 - 4(x+2)^2 - 5 = 0 и (2x^2 + 7x + 3)/(x^2 - 9) = 1

Решение задач для тетради: Задание 13. Решите уравнение \((x + 2)^4 - 4(x + 2)^2 - 5 = 0\). Пусть \((x + 2)^2 = t\), где \(t \ge 0\). Тогда уравнение примет вид: \[t^2 - 4t - 5 = 0\] По теореме Виета: \[t_1 = 5, \quad t_2 = -1\] Так как \(t \ge 0\), корень \(t_2 = -1\) не подходит. Вернемся к замене: \[(x + 2)^2 = 5\] \[x + 2 = \sqrt{5} \quad \text{или} \quad x + 2 = -\sqrt{5}\] \[x_1 = -2 + \sqrt{5}, \quad x_2 = -2 - \sqrt{5}\] Ответ: \(-2 \pm \sqrt{5}\). Задание 14. Решите уравнение \(\frac{2x^2 + 7x + 3}{x^2 - 9} = 1\). ОДЗ: \(x^2 - 9 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 3\). Перенесем единицу и приведем к общему знаменателю: \[\frac{2x^2 + 7x + 3 - (x^2 - 9)}{x^2 - 9} = 0\] \[\frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 - 9} = 0\] Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: \[x^2 + 7x + 12 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 = -3, \quad x_2 = -4\] С учетом ОДЗ (\(x \ne -3\)), корень \(x_1 = -3\) является посторонним. Ответ: \(-4\). Задание 15. Решите уравнение \(x^4 = (4x - 5)^2\). Перенесем всё в одну сторону: \[x^4 - (4x - 5)^2 = 0\] Разложим по формуле разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\): \[(x^2 - (4x - 5))(x^2 + (4x - 5)) = 0\] \[(x^2 - 4x + 5)(x^2 + 4x - 5) = 0\] 1) \(x^2 - 4x + 5 = 0\) \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4\] Так как \(D < 0\), действительных корней нет. 2) \(x^2 + 4x - 5 = 0\) По теореме Виета: \[x_1 = 1, \quad x_2 = -5\] Ответ: \(1; -5\). Задание 16. Решите уравнение \(x(x^2 + 2x + 1) = 2(x + 1)\). Заметим, что в скобках полный квадрат: \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\). \[x(x + 1)^2 - 2(x + 1) = 0\] Вынесем общий множитель \((x + 1)\) за скобки: \[(x + 1)(x(x + 1) - 2) = 0\] \[(x + 1)(x^2 + x - 2) = 0\] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \(x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1\) 2) \(x^2 + x - 2 = 0\) По теореме Виета: \[x_2 = 1, \quad x_3 = -2\] Ответ: \(-2; -1; 1\).