Решение квадратного уравнения 5x^2 + 8x - 4 = 0

Контрольная работа № 5 по теме «Квадратные уравнения» Вариант 1 Задание 1. Решите уравнение: а) \( 5x^2 + 8x - 4 = 0 \) Находим дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{144} = 12 \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = 0,4 \] \[ x_2 = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2 \] Ответ: \( -2; 0,4 \). б) \( 25x^2 - 4 = 0 \) Перенесем свободный член в правую часть: \[ 25x^2 = 4 \] \[ x^2 = \frac{4}{25} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{4}{25}} \] \[ x_1 = 0,4; \quad x_2 = -0,4 \] Ответ: \( \pm 0,4 \). в) \( 6x^2 = 18x \) Перенесем всё в левую часть и вынесем общий множитель за скобки: \[ 6x^2 - 18x = 0 \] \[ 6x(x - 3) = 0 \] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \[ 6x = 0 \implies x_1 = 0 \] \[ x - 3 = 0 \implies x_2 = 3 \] Ответ: \( 0; 3 \). г) \( (x + 3)^2 - 2(x + 3) - 8 = 0 \) Пусть \( t = x + 3 \). Тогда уравнение примет вид: \[ t^2 - 2t - 8 = 0 \] По теореме Виета: \[ t_1 + t_2 = 2 \] \[ t_1 \cdot t_2 = -8 \] Отсюда \( t_1 = 4, \quad t_2 = -2 \). Вернемся к замене: 1) \( x + 3 = 4 \implies x_1 = 1 \) 2) \( x + 3 = -2 \implies x_2 = -5 \) Ответ: \( -5; 1 \). Задание 2. Пусть \( n \) — первое натуральное число, тогда \( n + 1 \) — второе последовательное число. По условию их произведение равно 132: \[ n(n + 1) = 132 \] \[ n^2 + n - 132 = 0 \] \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529 \] \[ \sqrt{D} = 23 \] \[ n_1 = \frac{-1 + 23}{2} = 11 \] \[ n_2 = \frac{-1 - 23}{2} = -12 \] (не подходит, так как число должно быть натуральным) Если \( n = 11 \), то \( n + 1 = 12 \). Ответ: 11 и 12. Задание 3. Дано уравнение \( x^2 - 10x + c = 0 \) и корень \( x_1 = 5,2 \). По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения: \[ x_1 + x_2 = -b \] \[ x_1 \cdot x_2 = c \] Подставим известные значения: \[ 5,2 + x_2 = 10 \] \[ x_2 = 10 - 5,2 = 4,8 \] Теперь найдем \( c \): \[ c = x_1 \cdot x_2 = 5,2 \cdot 4,8 = 24,96 \] Ответ: \( x_2 = 4,8; \quad c = 24,96 \).