Решение: Расчет стальной двутавровой балки №27а

Вариант 10. Расчет стальной двутавровой балки. Дано: \[ \sigma_T = 240 \text{ МПа} \] \[ F = 10 \text{ кН} \] \[ M = 50 \text{ кН}\cdot\text{м} \] \[ q = 5 \text{ кН/м} \] \[ [s_T] = 1,5 \] Двутавр № 27а по ГОСТ 8239-72. Размеры участков: \( L_1 = 1 \text{ м} \), \( L_2 = 1 \text{ м} \), \( L_3 = 2 \text{ м} \). Задание 1. Определение реакций опор. Обозначим реакцию в опоре А как \( R_A \), в опоре В как \( R_B \). Направим их вертикально вверх. Составим уравнение моментов относительно точки А: \[ \sum M_A = 0 \] \[ M + R_B \cdot 2 - q \cdot 2 \cdot (2 + 1) - F \cdot 4 = 0 \] \[ 50 + 2 R_B - 5 \cdot 2 \cdot 3 - 10 \cdot 4 = 0 \] \[ 50 + 2 R_B - 30 - 40 = 0 \] \[ 2 R_B = 20 \implies R_B = 10 \text{ кН} \] Составим уравнение моментов относительно точки B: \[ \sum M_B = 0 \] \[ -R_A \cdot 2 + M - q \cdot 2 \cdot 1 - F \cdot 2 = 0 \] \[ -2 R_A + 50 - 5 \cdot 2 \cdot 1 - 10 \cdot 2 = 0 \] \[ -2 R_A + 50 - 10 - 20 = 0 \] \[ 2 R_A = 20 \implies R_A = 10 \text{ кН} \] Проверка: \[ \sum F_y = R_A + R_B - q \cdot 2 - F = 10 + 10 - 5 \cdot 2 - 10 = 20 - 10 - 10 = 0 \] Реакции найдены верно. Задание 2. Построение эпюр \( Q_y \) и \( M_x \). Разделим балку на три участка. Участок 1 (от 0 до 1 м от опоры А): \[ Q_1 = R_A = 10 \text{ кН} \] \[ M_1(z) = R_A \cdot z \] При \( z=0 \): \( M_1 = 0 \). При \( z=1 \): \( M_1 = 10 \text{ кН}\cdot\text{м} \). Участок 2 (от 1 до 2 м от опоры А): \[ Q_2 = R_A = 10 \text{ кН} \] \[ M_2(z) = R_A \cdot z - M \] При \( z=1 \): \( M_2 = 10 - 50 = -40 \text{ кН}\cdot\text{м} \). При \( z=2 \): \( M_2 = 10 \cdot 2 - 50 = -30 \text{ кН}\cdot\text{м} \). Участок 3 (от 0 до 2 м от правого края балки): \[ Q_3(z) = F + q \cdot z \] При \( z=0 \): \( Q_3 = 10 \text{ кН} \). При \( z=2 \): \( Q_3 = 10 + 5 \cdot 2 = 20 \text{ кН} \). \[ M_3(z) = -F \cdot z - \frac{q \cdot z^2}{2} \] При \( z=0 \): \( M_3 = 0 \). При \( z=2 \): \( M_3 = -10 \cdot 2 - \frac{5 \cdot 2^2}{2} = -20 - 10 = -30 \text{ кН}\cdot\text{м} \). Максимальный изгибающий момент по модулю: \( |M_{max}| = 40 \text{ кН}\cdot\text{м} \). Задание 3. Проверка прочности. Для двутавра № 27а по ГОСТ 8239-72 момент сопротивления составляет: \[ W_x = 407 \text{ см}^3 = 407 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 \] Допускаемое напряжение: \[ [\sigma] = \frac{\sigma_T}{[s_T]} = \frac{240}{1,5} = 160 \text{ МПа} \] Расчетное максимальное напряжение: \[ \sigma_{max} = \frac{|M_{max}|}{W_x} = \frac{40 \cdot 10^3}{407 \cdot 10^{-6}} \approx 98,28 \cdot 10^6 \text{ Па} = 98,28 \text{ МПа} \] Условие прочности: \[ \sigma_{max} \le [\sigma] \] \[ 98,28 \text{ МПа} \le 160 \text{ МПа} \] Вывод: Прочность балки обеспечена с большим запасом. Выбранный профиль соответствует отечественным стандартам качества и надежности.